수족 삼각형

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삼각형 ABC 는 검정색으로, 점 P 에서 내린 세 수선은 파란색으로, 이로부터 얻은 수족삼각형 LMN 은 빨간색으로 표시되어 있다.

기하학에서 수족삼각형이란 한 에서 세 변에 내린 수선의 발들로 이루어진 삼각형이다.

구체적인 설명을 위해 삼각형 ABC 와 점 A, B, C 가 아닌 한 점 P 를 생각해 보자. 그리고 P 에서 삼각형의 세 변에 수선의 발을 내리자. (경우에 따라서 삼각형의 변을 연장해야 할 수도 있다.) 세 수선이 변 BC, AC, AB 와 만나는 세 점을 각각 L, M, N 이라고 하면 수족삼각형은 삼각형 LMN 이 된다.

P 와 삼각형 ABC 의 상대적인 위치에 따라 몇 가지 특별한 경우가 있다.

  • P수심일 때, LMN 은 수심삼각형이다.
  • P내심일 때, LMN 은 내접삼각형(intouch triangle)이다.
P 가 외접원 위에 있는 경우 수족삼각형은 빨간색 직선으로 나타난다.

만약 P 가 삼각형의 외접원 위에 놓여 있으면 LMN 은 직선이 된다. 이 직선을 수족 직선, 또는 로버트 심슨(Robert Simson)의 이름을 따서 심슨 직선이라 부른다.

수족삼각형의 세 꼭짓점은 기존 삼각형의 변을 나눔에 있어서 다음의 식을 만족한다[1]:85-86

삼선좌표[편집]

만약 P삼선좌표p : q : r 이라면 수족삼각형의 세 꼭짓점 L,M,N의 삼선좌표는 다음과 같이 주어진다.

  • L = 0 : q + p cos C : r + p cos B
  • M = p + q cos C : 0 : r + q cos A
  • N = p + r cos B : q + r cos A : 0

반(反)수족삼각형[편집]

반(反)수족삼각형의 한 점 L'B 를 지나고 BP 에 수직인 직선과 C 를 지나고 CP 에 수직인 직선으로 결정된다. 반(反)수족삼각형의 다른 두 점 MN 도 같은 방식으로 결정된다. 삼선 좌표는 다음과 같이 주어진다.

  • L' = − (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C)(p + r cos B)
  • M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : − (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C)(q + r cos A)
  • N' = (q + r cos A)(r + p cos B) : (p + r cos B)(r + q cos A) : − (p + r cos B)(q + r cos A)

예를 들어, 내심에 대한 반(反)수족삼각형은 세 방심을 연결한 삼각형이다.

P 가 선분 BC, CA, AB 를 연장한 직선 위에 있지 않고, P−1P등각켤레점을 가리킨다고 하자. 그러면 P 에 대한 수족삼각형은 P−1 에 대한 수족삼각형과 중심 닮음이다. 또한 닮음 중심은 다음과 같이 주어진다.

ap(p + q cos C)(p + r cos B) : bq(q + r cos A)(q + p cos C) : cr(r + p cos B)(r + q cos A).

P 에 대한 수족삼각형과 P-1 에 대한 수족삼각형의 넓이의 곱은 삼각형 ABC 의 넓이의 제곱과 같다.

참고문헌[편집]

  1. Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.

외부 링크[편집]