선형 근사

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(a, f(a))에서의 접선

수학에서, 선형 근사(線型近似, 영어: linear approximation)는 어떤 함수선형 함수, 즉 일차 함수근사하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

정의[편집]

어떤 점 x=a에서 미분가능한 함수 f(x)가 있을 때, 그 점에서의 접선의 방정식은

y=f(a)+f'(a)(x-a)

이다. 이때 근사

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

fa에서의 선형 근사라고 한다. 이는 테일러 정리에 의하여 얻어진

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2

에서 근사 R_2\approx 0를 취한 것으로 볼 수 있다. 여기서 R_2=o(x-a)xa로 갈 때의 x-a보다 고위인 무한소이다(점근 표기법). 즉,

\lim_{x\to a}\frac{o(x-a)}{x-a}=0

[편집]

\sqrt{4.01}을 함수 f(x)=\sqrt{x}x=4에서의 선형 근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다.

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

이므로

f(4.01)\approx f(4)+f'(4)\times 0.01=2+\frac{1}{4}\times 0.01=2.0025

이다. 이는 실제값인 2.00249...를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.

이는 사실상 x가 4에 매우 가까울 때의 선형 근사

\sqrt{x}\approx 2+\frac{1}{4}(x-4)

를 이용한 것이다. 비슷한 예로 x가 0에 가까울 때의 여러가지 선형 근사를 나열하면 다음과 같다.

  • \sin x\approx x
  • \tan x\approx x
  • e^x\approx 1+x
  • \ln (1+x)\approx x
  • \arcsin x\approx x
  • \arctan x\approx x
  • (1+x)^p\approx 1+px

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.