비아벨 게이지 변환

이론 물리학에서 비아벨 게이지 변환은 게이지 변환의 합성이 교환 법칙을 따르지 않는 경우를 의미한다. 즉, 게이지 군 $G$이 비아벨 군인 경우이다. 이와 대조적으로, 전자기학에서 게이지 군의 원래 선택은 가환군인 $U(1)$이었다. 현재 많은 게이지 이론들이 비아벨 게이지 변환을 쓰고 있다.

비아벨 리 군 $G$의 경우, 그 원소는 비가환이다. 즉, 일반적으로 다음을 만족하지 않는다 .

$a*b=b*a\,$ .

특히, 무한소 변환들이 이루는 벡터 공간(리 대수)의 기저를 형성하는 생성자 $t^{a}$ 에는 다음과 같은 교환 규칙이 있다.

$\left[t^{a},t^{b}\right]=t^{a}t^{b}-t^{b}t^{a}=C^{abc}t_{c}.$

여기서 구조 상수 $C^{abc}$는 가환성의 결여를 정량화하고, 비가환이므로 없어지지 않는다. 구조 상수가 처음 두 첨자와 실수에서 반대칭임을 추론할 수 있다. 정규화는 일반적으로 다음과 같이 선택된다( 크로네커 델타 사용).

$Tr(t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}\delta ^{ab}.$

이 직교 기저 내에서 구조 상수는 세 가지 첨자 모두에 대해 반대칭이다.

군의 원소 $\omega$는 항등원 근처에 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

$\omega =exp(\theta ^{a}t^{a})$

여기서 $\theta ^{a}$들은 변환의 매개변수이다.

$\varphi (x)$를 주어진 표현 $T(\omega )$에서 공변하는 장이라 하자. 이는 게이지 변환 하에서

$\varphi (x)\to \varphi '(x)=T(\omega )\varphi (x)$

를 얻는다는 것을 의미한다. 콤팩트 군의 모든 표현은 유니터리 표현과 동일하므로 일반성을 잃지 않고

$T(\omega )$

가 유니터리 행렬이 되도록 한다. 라그랑지안 ${\mathcal {L}}$이 장 $\varphi (x)$과 그 도함수 $\partial _{\mu }\varphi (x)$에만 의존한다고 가정한다:

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.$

군 원소 $\omega$가 시공간 좌표(전역 대칭)와 무관하면, 변환된 장의 도함수는 장 도함수의 변환과 동일하다.

$\partial _{\mu }T(\omega )\varphi (x)=T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x).$

따라서 해당 장 $\varphi$과 그 도함수도 같은 방식으로 변환된다. 표현의 유니터리성으로 인해 다음과 같은 스칼라 곱 $(\varphi ,\varphi )$, $(\partial _{\mu }\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )$ 또는 $(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )$는 비아벨 군의 전역적 변형 하에서는 불변이다.

이러한 스칼라 곱으로 구성된 모든 라그랑지안은 전역적으로 불변이다.

${\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}={\mathcal {L}}{\big (}T(\omega )\varphi (x),T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.$