비가환 원환면

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비가환 기하학에서, 비가환 원환면(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.

정의[편집]

무리수라고 하자. 비가환 원환면 는 다음 두 원소 로 생성되는, 의 부분 C* 대수다. (여기서 힐베르트 공간유계 작용소C* 대수를 의미하고, 원환면 위의 L2 공간이다.)

이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

위 정의는 2차원 비가환 원환면이다. 일 경우 가환 원환면(위의 함수대수)을 얻는다. 고차원 비가환 원환면도 유사하게 정의할 수 있다. 즉, 차원 비가환 원환면 를 정의하려면, 반대칭 행렬 가 주어져

를 가한다.

모리타 동형[편집]

두 비가환 원환면 는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

또는

두 비가환 원환면 는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.

여기서

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ‎)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Douglas, Michael R.; Nikita A. Nekrasov (2001년 11월 29일). “Noncommutative field theory”. 《Reviews of Modern Physics》 73 (4): 977–1029. Bibcode:2001RvMP...73..977D. ISSN 0034-6861. arXiv:hep-th/0106048. doi:10.1103/RevModPhys.73.977.