브라마굽타의 공식

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브라마굽타 공식이란, 에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 알고 있을 때 그 사각형의 면적을 구하는 공식이다.

원에 내접하는 사각형의 각 선분의 길이가 a, b, c, d일 때, 사각형의 넓이 s는

이고 여기에서 s는

인 값이다.

이때, d = 0으로 생각하면 이 때는 원에 내접하는 삼각형에 대한 넓이 공식이 나오고, 이것은 헤론의 공식과 일치한다.


증명[편집]

Brahmaguptas formula.png

원 O 에 사각형 ABCD가 내접한다고 하고, 각 변의 길이를 p, q, r, s라고 하자. 그러면 사각형 ABCD의 넓이 S는 삼각형 ADB과 삼각형 BCD의 넓이의 합과 같으므로,

가 성립한다. 이 때, 사각형 ABCD가 원에 내접하므로,

이고, 따라서

여기에서 삼각형 ADB와 BDC에 대해 코사인 제 2 법칙을 사용하면

그리고 cos C = -cos A를 대입하고 정리하면

따라서

로 놓으면

가 얻어진다.

일반화[편집]

원에 내접하지 않는 경우에도 비슷한 식을 얻을 수 있다.

임의의 사각형의 각 변의 길이를 a, b, c, d라고 하고, 마주보는 두 각의 합을 2로 나눈 값을 θ라고 하면

가 얻어진다. 이를 브레트슈나이더 공식(Bretschneider's formula)이라고 한다.