기하학에서 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.
내접 사각형
의 네 변의 길이를
,
,
,
라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.
![{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b848a0f8bd3cc53117478a10627eabac39c145b)
여기서
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a6c920113669712d86ee8baf3c58fc683de8dd)
는 반둘레이다.
삼각법 증명[편집]
내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,
![{\displaystyle B+D=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408c5502df58f605596cd7e13bcb1b6ae1229475)
이다. 삼각형
와
에 코사인 법칙을 적용하면 각각
![{\displaystyle AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c7f95c626de99f9187663d00b6086d773d35bd)
와
![{\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos D\\&=c^{2}+d^{2}+2cd\cos B\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04dc69ca138b69170dfff2802bc2defd0df4971)
를 얻으며, 이를 연립하면
![{\displaystyle 2(ab+cd)\cos B=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8f37f0b86276eff4374cc020128acfd9159c94)
를 얻는다. 사각형
의 넓이는 삼각형
와
의 넓이의 합이므로,
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin B+{\frac {1}{2}}cd\sin D\\&={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin B\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1206bf310655d592e4fd80a572d6254a9bc4dc80)
이다. 따라서
![{\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}\sin ^{2}B\\&=4(ab+cd)^{2}-4(ab+cd)^{2}\cos ^{2}B\\&=(2ab+2cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\&=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\&=2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a567da80961c4ee4fe5136d25cb26926c95c144)
가 성립한다.
특수한 경우[편집]
헤론의 공식[편집]
헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는
![{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6596e9344ada420302022229b1d8122cc7a3141c)
가 된다.
이중중심 사각형의 넓이[편집]
외, 내접을 모두하는 사각형
의 네 변의 길이를
,
,
,
라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.
![{\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1788e578e0c5ed161f56bb02eb999d9a46cf804)
이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로
![{\displaystyle a+c=b+d=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b36c12a180d1a9093a0ecf5671537a94f9c220)
이기 때문이다.
일반화[편집]
브레치나이더 공식[편집]
브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형
의 네 변의 길이를
,
,
,
라고 하고, 반둘레를
, 넓이를
라고 할 경우 다음이 성립한다.
![{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f64cb3b060b2f8f48289dfd7574a4cb91913d40)
내접 사각형에서는
이므로
![{\displaystyle \cos {\frac {A+C}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a7d08e231f18b51ce66d3df93749d05d92bd3b)
이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.
인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.[1]:57, §3.2 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.[2]:188-189, §9.3
- ↑ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.
- ↑ Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.
외부 링크[편집]