분배 이음 반격자

순서론에서 분배 이음 반격자(영어: distributive join-semilattice)와 분배 만남 반격자(영어: distributive meet-semilattice)는 분배 격자의 반격자 일반화이다.

정의

이음 반격자 $(S,\vee )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 이음 반격자라고 한다.

• 임의의 $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\leq a\vee b$라면, $c=a'\vee b'$인 $a'\leq a$ 및 $b'\leq b$가 존재한다.
• $S$의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Ideal} (S)$은 분배 격자를 이룬다.^{:167, Lemma 184(iii)}

마찬가지로, 만남 반격자 $(S,\wedge )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 만남 반격자라고 한다.

• 임의의 $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\geq a\wedge b$라면, $c=a'\wedge b'$인 $a'\geq a$ 및 $b'\geq b$가 존재한다.
• $S$의 필터들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Filter} (S)$은 분배 격자를 이룬다.

증명:

이음 반격자 $S$가 주어졌으며, $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\leq a\vee b$라면, $c=a'\vee b'$인 $a'\leq a$ 및 $b'\leq b$가 존재한다고 하자. 모든 이음 반격자의 순서 아이디얼 집합은 이음 반격자를 이룬다. 가정한 조건에 따라, $S$가 하향 집합을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서, $\operatorname {Ideal} (S)$는 격자를 이룬다. 이제, $\operatorname {Ideal} (S)$가 분배 격자임을 보이려면, 임의의 세 순서 아이디얼 $I,J,K\in \operatorname {Ideal} (S)$에 대하여, $I\vee (J\wedge K)=(I\vee J)\wedge (I\vee K)$임을 보이면 족하다. $\leq$는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 $a\in (I\vee J)\wedge (I\vee K)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라

$a=i\vee j=i'\vee k$

인 $i,i'\in I$ 및 $j\in J$ 및 $k\in K$가 존재한다. $j\leq i\vee j=i'\vee k$이므로, $j=i''\vee k'$인 $i''\leq i'$ 및 $k'\leq k$가 존재한다. 이 경우 $i''\in I$이며, $k'\leq i''\vee k'=j$이므로 $k'\in J\wedge K$이다. 따라서,

$a=i\vee j=i\vee (i''\vee k')=(i\vee i'')\vee k'\in I\vee (J\wedge K)$

이다.

반대로, 이음 반격자 $S$에 대하여, $\operatorname {Ideal} (S)$가 격자이며, 또한 분배 격자라고 하자. 또한, $a,b,c\in S$이며, $c\leq a\vee b$라고 하자. 주 순서 아이디얼 $\mathop {\downarrow } a,\mathop {\downarrow } b,\mathop {\downarrow } c\in \operatorname {Ideal} (S)$을 생각하자. 분배 법칙에 따라,

$\mathop {\downarrow } c=\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } (a\vee b)=\mathop {\downarrow } c\wedge (\mathop {\downarrow } a\vee \mathop {\downarrow } b)=(\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } a)\vee (\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } b)$

이다. 특히,

$c\leq a'\vee b'$

인 $a'\in \mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } a$ 및 $b'\in \mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } b$가 존재한다. $a',b'\leq c$이므로, $c\leq a'\vee b'$이다.

성질

모든 분배 이음 반격자는 (공집합이 아니라면) 하향 집합이다. 모든 분배 만남 반격자는 (공집합이 아니라면) 상향 집합이다.^{:167, Lemma 184(ii)}

증명:

분배 이음 반격자 $S$ 및 임의의 원소 $a,b\in S$가 주어졌다고 하자. $a\leq a\vee b$이므로, $a=a'\vee b'$인 $a'\leq a$ 및 $b'\leq b$가 존재한다. 또한, $b'\leq a'\vee b'=a$이다. 따라서 $b'$은 $a$와 $b$의 하계이다.

분배 격자와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 모임은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 사실, 반격자들로 구성된 대수 구조 다양체는 분배 격자를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, 격자의 경우에 분배 격자와 일치할 수 없다).

예

격자 $(L,\vee ,\wedge )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:167, Lemma 184(i)}

• 이음 반격자 $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자이다.
• 만남 반격자 $(L,\wedge )$는 분배 만남 반격자이다.
• 격자 $(L,\vee ,\wedge )$는 분배 격자이다.

증명:

분배 격자 $(L,\vee ,\wedge )$ 및 $a,b,c\in L$이 주어졌으며, $c\leq a\vee b$라고 하자. 그렇다면, 분배 법칙에 따라

$c=c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b)$

$c\wedge a\leq a$

$c\wedge b\leq b$

이다. 따라서 $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자이다.

이제, 격자 $(L,\vee ,\wedge )$가 분배 격자가 아니라고 하자. 그렇다면, $L$은 오각형 부분 격자

$\{m,a,b,c,n\}$

$m\leq a\leq b\leq n$

$m\leq c\leq n$

또는 다이아몬드 부분 격자

$\{m,a,b,c,n\}$

$m\leq a,b,c\leq n$

를 갖는다. 이 경우,

$b\leq n=a\vee c$

이지만,

$b=a'\vee c'$

$a'\leq a$

$c'\leq c$

인 $a',c'\in L$을 찾을 수 없다. (만약 이러한 $a',c'\in L$이 존재한다면,

$b=a'\vee c'\leq a\vee (c\wedge (a'\vee c'))=a\vee (c\wedge b)=a\vee m=a$

이므로 모순이다.) 따라서, $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자가 아니다.