범주론 에서 부분 대상 분류자 (部分對象分類子, 영어 : subobject classifier )는 주어진 대상의 각각의 부분 대상 들을, 특정한 대상
2
{\displaystyle 2}
집합론 에서의 지시 함수 의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스 에서 항상 존재한다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
끝 대상
1
{\displaystyle 1}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
부분 대상 분류자 는 다음 조건을 만족시키는, 대상
2
{\displaystyle 2}
⊤
:
1
→
2
{\displaystyle \top \colon 1\to 2}
2
{\displaystyle 2}
Ω
{\displaystyle \Omega }
모든 단사 사상
ι
:
X
↪
Y
{\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y}
Y
←
ι
X
→
1
{\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1}
Y
→
χ
ι
2
←
⊤
1
{\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1}
당김 이 되는 사상
χ
ι
:
Y
→
2
{\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2}
여기서 사상
χ
ι
{\displaystyle \chi _{\iota }}
ι
{\displaystyle \iota }
지시 사상 영어 : indicator morphism )이라고 한다.
유한 완비 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2
{\displaystyle 2}
⊤
:
1
→
2
{\displaystyle \top \colon 1\to 2}
(
2
,
⊤
)
{\displaystyle (2,\top )}
강한 부분 대상 분류자 (強-部分對象分類子, 영어 : strong subobject classifier )라고 한다.
모든 강한 단사 사상
ι
:
X
↪
Y
{\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y}
Y
←
ι
X
→
1
{\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1}
Y
→
χ
ι
2
←
⊤
1
{\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1}
당김 이 되는 사상
χ
ι
:
Y
→
2
{\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2}
강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상 에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상 은 부분 대상 이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
모든 토포스 는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스 는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.
각종 토포스 에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.
토포스
부분 대상 분류자
집합의 토포스
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
두 개의 원소를 가진 집합
{
∙
1
,
∙
2
}
{\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}
유한 집합 의 토포스
FinSet
{\displaystyle \operatorname {FinSet} }
두 개의 원소를 가진 집합
{
∙
1
,
∙
2
}
{\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}
위상 공간
(
X
,
U
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}
층 의 토포스
Sh
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}
열린집합
V
⊂
X
{\displaystyle V\subset X}
부분 집합 들의 층
U
(
V
)
=
{
U
∩
V
|
U
∈
U
}
{\displaystyle {\mathcal {U}}(V)=\{U\cap V|U\in {\mathcal {U}}\}}
작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
준층 의 토포스
Set
C
op
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}
대상
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle C}
체 들의 집합의 준층
Sieve
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Sieve} (C)}
토포스
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
∈
T
{\displaystyle X\in {\mathcal {T}}}
T
/
X
{\displaystyle {\mathcal {T}}/X}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
2
T
∈
T
{\displaystyle 2_{\mathcal {T}}\in {\mathcal {T}}}
proj
2
:
2
T
×
X
↠
X
{\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon 2_{\mathcal {T}}\times X\twoheadrightarrow X}
