부대칭 행렬

5 × 5 반대각선 대칭행렬의 예

수학에서 부대칭 행렬(副對稱行列, 영어: secondary symmetric matrix, persymmetric matrix) 또는 반대각선 대칭 행렬(反對角線對稱行列, 영어: skew-diagonal symmetric matrix)은 왼쪽 아래와 오른쪽 위를 잇는 대각선에 대하여 대칭인 정사각 행렬이다.

정의

체 $K$ 위의 $n\times n$ 교환 행렬은 다음과 같다.

$J\in \operatorname {Mat} (n;K)$

$J_{ij}=\delta _{i,n+1-j}={\begin{cases}1&i=n+1-j\\0&i\neq n+1-j\end{cases}}$

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$의 부전치(副轉置, 영어: secondary transpose)는 $JM^{\top }J$이다. 여기서 $M^{\top }$은 전치 행렬이다. 이는 $M$을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 $i,j$에 대하여

$(JM^{\top }J)_{ij}=M_{n+1-j,n+1-i}$

이다.

부전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.

• 만약 $JM^{\top }J=M$라면, $M$을 부대칭 행렬이라고 한다.
• 만약 $M$이 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬이라면, $M$을 쌍대칭 행렬(雙對稱行列, 영어: bisymmetric matrix)이라고 한다.
• 만약 $JM^{\top }J=-M$라면, $M$을 부반대칭 행렬(反副對稱行列, 영어: secondary skew-symmetric matrix, per-antisymmetric matrix)이라고 한다.
• 만약 $JM^{\top }J=M^{-1}$라면, $M$을 부직교 행렬(副直交行列, 영어: secondary orthogonal matrix)이라고 한다.

2차 자기 동형 ${\bar {\quad }}$을 갖는 체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$의 부켤레 전치(副-轉置, 영어: secondary conjugate transpose)는 $JM^{\dagger }J$이다. 여기서 $M^{\dagger }$는 켤레 전치이다. 이는 $M$을 부대각선에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. 즉, 각 $i,j$에 대하여

$(JM^{\dagger }J)_{ij}={\overline {M_{n+1-j,n+1-i}}}$

이다.

부켤레 전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.

• 만약 $JM^{\dagger }J=M$라면, $M$을 부에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary Hermitian matrix, per-Hermitian matrix)이라고 한다.
• 만약 $JM^{\dagger }J=-M$라면, $M$을 부반에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary skew-Hermitian matrix)이라고 한다.
• 만약 $JM^{\dagger }J=M^{-1}$라면, $M$을 부유니터리 행렬(副-行列, 영어: secondary Unitary matrix)이라고 한다.
• 만약 $M(JM^{\dagger }J)=(JM^{\dagger }J)M$라면, $M$을 부정규 행렬(副正規行列, 영어: secondary normal matrix)이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

쌍대칭 행렬의 합, 곱, 역행렬, 전치 행렬, 부전치는 쌍대칭 행렬이다.