받침 초평면

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분홍색 볼록집합 S를 받치는 받침 초평면

받침 초평면(Supporting hyperplane, -超平面)은 기하학의 개념이다. 유한 차원 유클리드 공간에서 어떤 초평면은 항상 두 개의 반공간으로 공간을 나눈다. 받침 초평면은 어떤 집합 S를 받치는 초평면을 의미하는데, 여기서 '받친다'는 다음과 같이 정의된다.[1]

  • S는 초평면에 의해 결정되는 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 완전히 포함된다.
  • S는 초평면과 적어도 하나의 교점을 갖는다.

여기서 닫힌 반공간은 초평면에 의해 분리된 두 반공간의 폐포로, 초평면을 포함한다. 이상의 받침 초평면 개념은 접선 개념의 일반화로 볼 수 있다.

받침 초평면 정리[편집]

유일하지 않은 받침 초평면.

받침 초평면이 존재할 충분조건은 다음의 받침 초평면 정리(supporting hyperplane theorem, -超平面定理)로 주어진다.

  • 유한 차원 유클리드 공간에서 S를 콤팩트 볼록집합이라 하자. 그러면, S의 임의의 경계점 a에 대해 a를 포함하는 받침 초평면이 존재한다.

일반적으로 이 받침 초평면은 오른쪽 그림에서처럼 유일하지 않다. 다만 특정한 미분다양체라는 조건을 주면 유일하게 잡을 수 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Serge Lang, 정자아 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004, 333쪽.

참고 문헌[편집]

  • Serge Lang, 정자아 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004.