받침 초평면

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분홍색 볼록집합 S를 받치는 받침 초평면

유클리드 기하학에서, 받침 초평면(-超平面, 영어: supporting hyperplane)은 어떤 점들의 집합을 접하며, 집합 전체가 초평면의 어느 한 쪽에 속하게 하는 초평면이다. 접선의 일반화이다.

정의[편집]

유한 차원 유클리드 공간에서, 여차원이 1인 초평면은 항상 두 개의 반공간으로 공간을 나눈다. 유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 집합 S\subset\mathbb R^n받침 초평면은 다음 두 조건을 만족시키는 n-1차원 초평면

P=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon\mathbf x\cdot\mathbf a=c\}\quad(\mathbf a\in\mathbb R^n\setminus\{\mathbf0\},\;c\in\mathbb R)

이다.[1]:333

  • S는 초평면에 의해 결정되는 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 완전히 포함된다. 즉, {\mathbf  s}\cdot {\mathbf  a}\geq c\forall {\mathbf  s}\in S이거나 {\mathbf  s}\cdot {\mathbf  a}\leq c\forall {\mathbf  s}\in S이다.
  • S는 초평면과 적어도 하나의 교점을 갖는다. 즉, S\cap P\ne\varnothing이다.

여기서 닫힌 반공간은 초평면에 의해 분리된 두 반공간의 폐포로, 초평면을 포함한다.

받침 초평면 정리[편집]

유일하지 않은 받침 초평면.

받침 초평면이 존재할 충분조건은 다음의 받침 초평면 정리(-超平面定理, 영어: supporting hyperplane theorem)로 주어진다.

일반적으로 이 받침 초평면은 오른쪽 그림에서처럼 유일하지 않다. 다만 특정한 매끄러운 다양체라는 조건을 주면 유일하게 잡을 수 있다.

주석[편집]

  1. Serge Lang, 정자아 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]