모레라 정리

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복소해석학에서, 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

정의[편집]

모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 에 정의된 연속 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 정칙 함수이다.
  • 임의의 조각마다 닫힌 곡선 에 대하여,
  • 임의의 삼각형 열린집합 에 대하여,

특히, 단일 연결 열린집합이라면, 가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

증명[편집]

코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.[1]:91-92

임의의 를 취하자. 그렇다면, 가 어떤 볼록 열린 근방 에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. (는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수

와 같이 정의하자. 여기서 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 임의의 에 대하여, 이다. 따라서 에서 정칙 함수이며, 그 도함수 역시 에서 정칙 함수이다.

따름정리[편집]

모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성[편집]

연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수열 가 함수 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, 역시 정칙 함수이다.

임의의 를 취하고, 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이는 콤팩트 집합이므로, 에서 균등 수렴한다. 따라서, 에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 닫힌 곡선 에 대하여,

이다. 모든 삼각형은 조각마다 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, 에서 정칙 함수이다.

리만 제타 함수의 정칙성[편집]

리만 제타 함수

에서 다음과 같이 정의된다.

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 에서 콤팩트 수렴하며, 각 는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 에서 정칙 함수이다.

감마 함수의 정칙성[편집]

감마 함수

에서 다음과 같이 정의된다.

는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 에서 정칙 함수이다.

각주[편집]

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 

외부 링크[편집]