리의 정리

수학, 특히 리 대수론에서 리의 정리는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해 $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면, $\operatorname {codim} V_{i}=i$인 $\pi ({\mathfrak {g}})$의 불변 부분공간의 기 $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$가 존재, 즉 $X\in {\mathfrak {g}}$과 $i$ 각각에 대해 $\pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}$라는 정리이다.

달리 말하면, 이 정리는 $\pi ({\mathfrak {g}})$안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 $V$의 기저가 있다는 정리이다. 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다.

리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 V 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 $\pi ({\mathfrak {g}})$가 ${\mathfrak {gl}}(V)$의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.

반례

대수적으로 닫힌 표수 $p>0$인 체의 경우 표현의 차원이 p 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 p인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 p 차원 벡터 공간 $k[x]/(x^{p})$에 작용하는 $1,x,d/dx$로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 p 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.

증명

증명은 ${\mathfrak {g}}$의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, ${\mathfrak {g}}$차원을 양수라고 가정한다. 또한 V는 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 $X\cdot v=\pi (X)(v)$로 쓴다.

1단계 : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다.

• V에는 $\pi ({\mathfrak {g}})$안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.

실제로, 정리는 특히 $V_{n-1}$를 생성하는 0이 아닌 벡터는 $\pi ({\mathfrak {g}})$ 안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, v가 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 $V_{n-1}$잡으면 $\pi ({\mathfrak {g}})$는 몫공간 $V/V_{n-1}$에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.

2단계 : 여차원 1인 ${\mathfrak {g}}$ 안의 이데알 ${\mathfrak {h}}$를 찾는다.

$D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$를 그 유도 대수라 하자. ${\mathfrak {g}}$가 가해이고 양의 차원을 가지며, $D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}$이라서 몫 ${\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}$은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해 ${\mathfrak {g}}$ 안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.

3단계 : ${\mathfrak {h}}^{*}$ 안에

$V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}$

0이 아닌 어떤 선형 범함수 $\lambda$가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.

4단계 : $V_{\lambda }$는 ${\mathfrak {g}}$-불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)

$Y\in {\mathfrak {g}}$, $v\in V_{\lambda }$라 하자. 그러면 $Y\cdot v\in V_{\lambda }$를 증명해야 한다. $v=0$인 경우는 자명하므로, $v\neq 0$를 가정한다. 그리고 재귀적으로 $v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}$로 놓는다. $U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}$와 $\ell \in \mathbb {N} _{0}$가 $v_{0},\ldots ,v_{\ell }$가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 U를 생성하고 $\alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })$가 U의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 $m\in \mathbb {N} _{0}$가 $v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle$인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 $m\geq \ell +1$이다. $v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}$들은 선형 종속이며, $v_{\ell +1}$는 $v_{0},\ldots ,v_{\ell }$의 선형 결합이다. 사상 $Y^{m-\ell -1}$를 적용하면 $v_{m}$가 $v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}$의 선형 결합임을 알 수 있다. m의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 $v_{0},\ldots ,v_{\ell }$의 선형 결합이다. 따라서 $v_{m}$도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 $n\in \mathbb {N} _{0}$, $X\in {\mathfrak {h}}$에 대해 $a_{n,n,X}=\lambda (X)$이고

$X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.$

인 기본 체의 원소들 $a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}$이 존재한다는 것을 증명한다. $n=0$인 경우는 $X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}$이므로 간단하다. 이제 어떤 $n\in \mathbb {N} _{0}$과 ${\mathfrak {h}}$의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자. 그리고 $X\in {\mathfrak {h}}$라 하자. ${\mathfrak {h}}$가 이데알이므로, $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$이다. 따라서

$X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},$

이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 $X\in {\mathfrak {h}}$애 대해 부분공간 U는 X의 불변 부분공간이고 제한 사상 $\pi (X)|_{U}$의 행렬은 기저$\alpha$에 대해 대각선 성분이 $\lambda (X)$과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 $\operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)$. 이것을 X 대신에 $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$와 적용하면 $\operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\dim(U)\lambda ([X,Y])$이다. 반면에 U는 분명히 Y의 불변 부분공간이기도 하다.

$\operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0$

교환자에는 대각합이 0이므로 $\dim(U)\lambda ([X,Y])=0$이다. $\dim(U)>0$ 눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, $\lambda ([X,Y])=0$이고

$X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),$

이며, 따라서 $Y\cdot v\in V_{\lambda }$.

5단계 : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L$라 하자. 여기서 L은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 $V_{\lambda }$안에서 L 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 ${\mathfrak {h}}$의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. $\square$

결과

정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 딸림 표현 $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$에 적용된다. 따라서 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$이 상 삼각 행렬로 구성되도록 ${\mathfrak {g}}$의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 $x,y\in {\mathfrak {g}}$에 대해, $\operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]$는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, $\operatorname {ad} ([x,y])$은 순상삼각 행렬이다. 이는 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다:

표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 가해임과 유도 대수 $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$가 다음과 멱영임은 동치이다.

리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다.

V가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고 ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$는 리 부분 대수이면 ${\mathfrak {g}}$가 가해임과 모든 $X\in {\mathfrak {g}}$, $Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$에 대해 $\operatorname {tr} (XY)=0$임이 동치이다.

실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는 $\Rightarrow$는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)

리의 정리(다양한 V 에 대한)는 다음 진술과 동일하다:

대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대해 각각의 유한차원 단순 ${\mathfrak {g}}$-가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.

실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 ${\mathfrak {g}}$-가군 V에 대해, $V_{1}$가 극대 ${\mathfrak {g}}$-부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, $V/V_{1}$는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.

이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다.

여기 또 다른 유용한 적용이 있다:

${\mathfrak {g}}$가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$라 하자. 그러면 각각의 유한차원 단순 표현 $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$는 ${\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$의 단순 표현과 ${\mathfrak {g}}$의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).

리의 정리에 의해 $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$의 가중치 공간 $V_{\lambda }$가 존재하도록 $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$의 선형 범함수 $\lambda$를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, $V_{\lambda }$는 또한 ${\mathfrak {g}}$ -가군이다; 그래서 $V=V_{\lambda }$. 특히, 각 $X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$에 대해, $\operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)$. $\lambda$를 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$에서 영인 ${\mathfrak {g}}$ 위의 선형 범함수로 확장하면, $\lambda$는 ${\mathfrak {g}}$의 1차원 표현이다. 이제,$(\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda$. $\pi$는 $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$ 위의 $\lambda$와 일치하므로, $V\otimes (-\lambda )$는 $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$ 위에서 자명하다. 따라서 ${\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})$의 (단순한) 표현의 제한이다.$\square$

같이 보기

• 멱영 리 대수에 관한 엥겔의 정리 .
• (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리.

참고 문헌

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Humphreys, James E. (1972), 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7 .
• Jacobson, Nathan (1979), 《Lie algebras》 Republication ofe 1962 original판, New York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927 
• Serre, Jean-Pierre (2001), 《Complex Semisimple Lie Algebras》, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-642-56884-8, ISBN 3-5406-7827-1, MR 1808366