수학에서 뤼카 수열(영어: Lucas sequence)은 주어진 두 정수에 의존하는, 일차 점화식으로 정의되는 수열이다.
두 정수
에 대한 제1종 뤼카 수열(영어: Lucas sequence of the first kind
은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.
![{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533aecf96cd95bde04cf9090db00a4a1fe969456)
![{\displaystyle U_{1}(P,Q)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45876a4a48e4702717cd9664f915ca95a08db92b)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de887bae36125b2595bdc1d37efccc6d2116aa64)
두 정수
에 대한 제2종 뤼카 수열(영어: Lucas sequence of the second kind
은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.
![{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063fd818f43d67af283d935fbd54983ee98ee8e7)
![{\displaystyle V_{1}(P,Q)=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e45683f65eae1f0c21d61bf0722862a3d0f0ec6)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e398ce7317b734467525569475fbb55d2257aed)
일반항[편집]
이차 방정식
의 두 해를 각각
![{\displaystyle \textstyle \alpha =(P+{\sqrt {P^{2}-4Q}})/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22188e94be6e1f9876c6ba4e4d352591a5982bdf)
![{\displaystyle \textstyle \beta =(P-{\sqrt {P^{2}-4Q}})/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3940763a6c8c6c73dff4fabffcd8a254c79ac26c)
라고 할 때, 뤼카 수열의 일반항은 각각 다음과 같다.
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)=(\alpha ^{n}-\beta ^{n})/(\alpha -\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1216b4f81cb2b2620ace02541ed881837d10f3)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a671a57ac8035dbf1947ec5a5156f1439092c8)
생성 함수[편집]
뤼카 수열의 생성 함수는 각각 다음과 같다.
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(P,Q)x^{n}=x/(1-Px+Qx^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8df139b067074a917b6c1e1dcf8e642d1f14f41)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{n}(P,Q)x^{n}=(2-Px)/(1-Px+Qx^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64910b861a0b40226e705eaccc1d738c829ad41)
뤼카 수열의 처음 몇 항은 각각 다음과 같다.[1]
|
|
|
0
|
0
|
2
|
1
|
1
|
|
2
|
P
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
특수한 경우[편집]
뤼카 수열의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 따 명명되었다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]