L
{\displaystyle \;L}
수 이론에서, 로크스 상수는 로크스(Lochs) 정리로부터 전형적인 실수의 연분수 확장의 수렴 속도에 관한 상수이다.
정리의 증거는 1964년 구스타브 로크스 (Gustav Lochs)에 의해 출판되었다.[ 1]
정리에 따르면, 구간 (0,1)의 거의 모든 실수에 대해 소수의 10 진수 확장의 첫 번째 n 개 자리를 결정하는 데 필요한 숫자의 연분수 확장 항의 수는 점근적으로 다음과 같이 동작한다.
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle x\in (0,1)}
m
=
{\displaystyle m=}
연분수 에서 수렴하는 구현의 대상 객체
n
=
{\displaystyle n=}
L
=
lim
n
→
∞
m
n
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{m \over n}}
=
6
ln
(
2
)
ln
(
10
)
π
2
{\displaystyle \;\;\;={{6\ln(2)\ln(10)} \over {\pi ^{2}}}}
=
0.9702714...
(
O
E
I
S
A
086819
)
{\displaystyle \;\;\;=0.9702714...(OEISA086819)}
L
=
1
2
log
1
0
(
e
β
)
{\displaystyle L={{1} \over {2\log _{1}0(e^{\beta })}}}
e
β
{\displaystyle \qquad e^{\beta }}
=
ln
10
2
β
{\displaystyle \;\;\;={{\ln 10} \over {2\beta }}}
C
=
(
(
6
ln
(
2
)
π
2
)
(
(
48
ln
A
)
−
(
ln
2
)
−
(
4
ln
π
)
−
2
)
)
−
1
2
{\displaystyle C=\left(\left({{6\ln(2)} \over {\pi ^{2}}}\right)((48\ln A)-(\ln 2)-(4\ln \pi )-2)\right)-{{1} \over {2}}}
=
6
ln
2
(
(
48
ln
A
)
−
(
ln
2
)
−
(
4
ln
π
)
−
2
)
π
2
−
1
2
{\displaystyle \;\;\;={{{6\ln 2}((48\ln A)-(\ln 2)-(4\ln \pi )-2)} \over {\pi ^{2}}}-{{1} \over {2}}}
=
1.4670780794....
(
O
E
I
S
A
086237
)
{\displaystyle \;\;\;=1.4670780794....(OEISA086237)}
A
{\displaystyle A}
글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant)
L
−
1
=
π
2
6
ln
2
ln
10
{\displaystyle L^{-1}={{\pi ^{2}} \over {6\ln 2\ln 10}}}
=
1.0306408341....
(
O
E
I
S
A
062542
)
{\displaystyle \;\;\;=1.0306408341....(OEISA062542)}
{\displaystyle }
{\displaystyle }
{\displaystyle }
↑ Lochs, Gustav (1964), “Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch”, 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 27 : 142–144, doi :10.1007/BF02993063 , MR 0162753
