가우스-자이델 방법

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가우스-자이델 방법(Gauss-Seidel method)은 연립방정식수치적으로 계산하는 방법으로, 카를 프리드리히 가우스필리프 루트비히 폰 자이델의 이름을 따서 붙여졌다. 가우스-자이델 방법은 연립방정식에 대응하는 행렬을 두 개의 삼각행렬로 분해한 뒤 해를 반복적으로 계산해 수렴시키는 방식을 사용한다.

연립방정식 와 이에 대응하는 변수와 상수

에 대해, 가우스-자이델 방법은 행렬 를 다음과 같이 의 두 삼각행렬로 분할하는 방식으로 시작한다.

그러면 원래 방정식을 로 변환할 수 있고, 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

이제 이 식에서 우변의 결과를 좌변에 대입하는 방식으로 수치적 계산을 실행한다.

또한, 여기에서 은 삼각행렬이기 때문에, 다음과 같이 계산하는 것이 가능하다.

, 여기에서

이 방식은 대칭행렬이면서 양정치행렬일 경우, 또는 강하거나 기약적인 대각지배행렬일 경우 항상 수렴한다는 것이 증명되어 있다. 또한, 이에 해당하지 않는 경우에도 수렴하는 경우가 존재한다.