극점 (기하학)

크레인-밀만 정리의 도해. 콤팩트 볼록집합(하늘색)에 있는 극점(붉은색)들을 포함하는 가장 작은 볼록집합은 그 자신이다.

크레인-밀만 정리(러시아어: Теорема Крейна — Мильмана, Krein-Milman theorem, -定理)는 기하학과 선형대수학의 정리로, 소비에트 연방의 수학자 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(Дави́д Пи́нхусович Ми́льман)의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 콤팩트 볼록집합이 그 극점만으로 재구성될 수 있다는 내용이다.

볼록 폐포

이 정리를 정확히 이해하기 위해서는 볼록 폐포(convex closure, -閉包) 개념을 이해해야 한다. 이는 다음과 같이 정의된다.

• E를 유한 차원 유클리드 공간의 부분집합으로 공집합이 아니라고 할 때, 볼록 폐포는 E를 포함하는 가장 작은 볼록집합이다.

일반적으로, 유클리드 공간 상에서 열린 볼록집합이나 유계가 아닌 볼록집합을 생각해 보면 극점을 갖지 않는 경우가 있다. 그러므로 이들은 그 극점의 볼록 폐포가 될 수 없다. 하지만 닫힌 유계 볼록집합, 즉, (하이네-보렐 정리에 의해) 콤팩트한 볼록집합은 공집합이 아닐 경우 극점을 가지며, 극점들의 볼록 폐포는 그 자신이 된다. 이를 다음과 같이 크레인-밀만 정리로 공식화할 수 있다.

공식화

위의 볼록 폐포 개념을 이용해 크레인-밀만 정리를 기술하면, 다음과 같은 내용이다.

• 유한 차원 유클리드 공간에서 어떤 콤팩트 볼록집합 S가 주어졌을 때, 이 극점들을 모은 집합의 볼록 폐포는 항상 S이다.

증명

본격적인 증명에 앞서 다음과 같은 보조정리가 필요하다.

• 유한 차원 유클리드 공간에서 S를 콤팩트 볼록집합이라 하자. 그러면, S의 임의의 받침 초평면은 극점을 갖는다.

이를 받아들이면, 정리의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.

1. n차원 유클리드 공간의 콤팩트 볼록집합 S에서 그 극점들의 볼록 폐포를 모은 집합을 S'라 하자. 이때 S'⊆S는 분명한데, 조건에서 S가 볼록집합이기 때문이다. 그러므로 S⊆S'를 보이면 된다.
2. a∈S이고 S'에는 속하지 않는 a가 존재한다면, 방정식 $X\cdot N=c$ 로 정의되고 모든 X∈S'에 대해 $X\cdot N>c$ 가 되는 a를 지나는 초평면 H가 존재한다. $L:R^{n}\rightarrow R$ 을 $L(X)=X\cdot N$ 인 선형사상이라 하자. 그러면 L(a) = c이고 L(a)는 L(S')에 속하지 않는다.
3. S가 콤팩트이고 볼록이므로, L(S)도 콤팩트이며 볼록이 된다. 그러므로 L(S)는 적당한 실수 p, q에 대해 폐구간 [p, q]라 할 수 있는데, 이 구간은 c를 포함한다.
4. 이제 $H_{p}$를 방정식 $X\cdot N=p$로 정의된 초평면이라 하자. 그러면 $H_{p}$는 S의 받침 초평면이다. 위의 보조정리에 의해 이는 극점을 갖는다. 이 극점은 S'에 속하는데, 그러면 S'에 속하는 모든 X에 대해 $X\cdot N>c\geq p$ 라는 사실에 모순이 된다.

일반화 및 선택공리와의 관계

이 정리는 일반적으로 국소볼록공간으로 확장할 수 있다. 국소볼록공간에서 이 정리가 성립함을 ZF에서 증명하려면 선택공리를 사용해야 한다. 거꾸로, 불 소아이디얼 정리와 일반화된 크레인-밀만 정리를 이용하면 ZF에서 선택공리를 유도할 수 있다. 따라서, 불 소아이디얼 정리가 가정되면 크레인-밀만 정리와 선택공리는 동치가 된다.

같이 보기

• 볼록집합

참고 문헌

• Serge Lang, 정자아 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004.