선택 공리

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선택 공리의 형상화. 선택 함수는 각 집합 S_i를 그 속의 원소 x_i\in S_i로 대응시킨다.

집합론에서, 선택 공리(選擇公理, 영어: axiom of choice, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다.

정의[편집]

집합족 \mathcal S 위의 선택 함수(選擇函數, 영어: choice function)는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

f\colon\mathcal S\to\bigcup\mathcal S=\bigcup_{S\in\mathcal S}S
\forall S\in\mathcal S\colon f(S)\in S

만약 \varnothing\in\mathcal S라면, \mathcal S는 물론 선택 함수를 가질 수 없다. 선택 공리에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족 \mathcal S는 선택 함수를 갖는다.

성질[편집]

만약 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음을 보일 수 있다.

\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})
\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZF\lnot C})

선택 공리를 함의하는 명제[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 다음 명제들은 선택 공리를 함의한다.

선택 공리와 동치인 명제[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)을 가정하면, 선택 공리는 수많은 동치 명제들을 가지며, 다음과 같다. 즉,

\mathsf{ZF}\vdash\mathsf{AC}\iff A

인 명제 A의 예는 다음을 들 수 있다.

선택 공리로부터 함의되는 명제[편집]

만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 일관적이라면 체르멜로-프렝켈 집합론으로 다음 정리들을 증명할 수 없지만, 선택 공리를 추가하면 증명할 수 있다.

역사[편집]

게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 증명이 필요없을 정도로 자명한 "사고 법칙"(독일어: Denkgesetz 뎅크게제츠[*])이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다. 1904년에 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러(헝가리어: Kőnig Gyula)는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다. 그러나 몇 주 뒤 펠릭스 하우스도르프가 이 "반증"의 오류를 지적하였다.

1904년에 에른스트 체르멜로정렬 정리를 보다 더 자명한 원리로부터 유도하기 위하여 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 정렬 정리를 증명하였다.[2]

쿠르트 괴델내부 모형 이론을 사용하여, 선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.[3] 구체적으로, 구성 가능 전체 L체르멜로-프렝켈 집합론모형이며, 이 모형에서는 선택 공리가 성립한다. 폴 코언강제법을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.

현재까지도, 많은 수학자들은 선택 공리에 대하여 회의적인 입장을 보인다. 미국의 수학자 제리 로이드 보나(영어: Jerry Lloyd Bona)는 이에 대하여 다음과 같이 농담하였다.

선택 공리는 당연히 참이고, 정렬 정리는 당연히 거짓이고, 초른의 보조정리는 글쎄……?

The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?

이는 선택 공리 자체는 직관적으로 보이지만, 이와 동치인 여러 명제(정렬 정리 등)는 매우 비직관적임을 시사한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]