초른 보조정리

수학에서, 초른의 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리이다.

정의

초른의 보조정리는 다음과 같다. 부분순서집합 (P,≤)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

1. P는 공집합이 아니다.
2. P의 모든 완전순서 부분집합은 상계를 갖는다.

그렇다면, P는 적어도 하나의 극대원소를 포함한다.

여기에서 (P,≤)가 부분순서집합일 때 그 부분집합 T에 속하는 임의의 s와 t에 대해 언제나 s ≤ t이거나 t ≤ s일 경우 T를 완전순서집합이라 한다. 어떤 T의 원소 t에 대해서나 t ≤ u를 만족하는 P의 원소 u가 있으면, T가 상계 u를 갖는다고 한다. (여기에서 u가 T의 원소일 필요는 없다.) m이 P의 최대원소라 함은 m ≤ x를 만족하는 유일한 P의 원소 x가 바로 m 자신인 경우를 말한다.

증명

초른의 보조 정리는 선택 공리를 사용하여 귀류법으로 다음과 같이 증명할 수 있다. 부분순서집합$P$가 이 보조정리의 반례라고 하자. 즉, $P$는

1. 공집합이 아니고,
2. 모든 완전순서 부분집합은 상계를 갖고,
3. 모든 원소에 대해 그보다 더 큰 원소가 존재한다.

그렇다면, 모든 완전순서 부분집합 $T\subset P$에 대하여 $b(T)\in P$를 $T$의 상계보다 큰 임의의 원소로 정의하자. 이 함수를 정의하려면 선택 공리가 필요하다.

그렇다면, 모든 서수 $\kappa$에 대하여, 초한반복으로 다음과 같은 원소열을 정의할 수 있다.

$a_{\kappa }=b(\{a_{\lambda }\colon \lambda <\kappa \})\in P$

원소열

$a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{\omega }<a_{\omega +1}<\cdots$

의 길이는 그 어느 집합의 크기보다 더 크므로, 이는 $P$의 부분집합일 수 없다. 즉, 서수들의 모임은 그 어떤 집합보다도 더 많은 원소를 가지므로, 이 원소열이 P에 포함된다는 사실은 모순되고, 따라서 귀류법이 성립한다.

이 증명을 통해, 약간 더 강한 형태의 초른의 보조정리 또한 사실임을 알 수 있다.

P가 그 안의 모든 정렬순서 부분집합이 상계를 갖는 부분순서집합이라 하자. 이때 P의 임의의 원소 x에 대해 그보다 같거나 큰 (즉, x와 비교 가능한) 극대원소가 존재한다.

역사

카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다. 막스 초른이 1935년에 같은 정리를 발표하였고, 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다.

참고 문헌

• Ciesielski, Krzysztof (1997). 《Set theory for the working mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0. 

바깥 고리

• Efimov, B.A. (2001). “Zorn lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Zorn’s lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 선택공리