순서수

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\omega^\omega 이하의 순서수들의 형상화
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

집합론에서, 순서수(順序數, 영어: ordinal)는 정렬 집합들의 "길이"를 측정하는 의 일종이다. 자연수를 확장하며, 자연수들의 정렬 집합과 같은 무한 정렬 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다.

개론[편집]

자연수는 집합의 크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 순서대로 늘어선 수열에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 쓰임새는 유한 집합의 경우 크게 다르지 않으나, 무한 집합의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 것이 기수이고, 후자를 확장한 것이 순서수이다.

기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 정렬 집합에 대해서만 정의되며, 실제로 정렬 순서의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해, 정렬 순서란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 전순서를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 전순서 집합에 대해 가장 작은 원소를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 또한 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 순서형(order type)이라고 한다.

정의[편집]

동치류를 이용한 정의[편집]

기수를 모든 집합의 전단사 함수에 대한 동치류로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 정렬 집합의 순서 동형에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합이 아니며, 고유 모임이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 \operatorname{Ord}고유 모임들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.)

형 이론이나 콰인의 새 기초(New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 형 이론을 사용하는 《수학 원리》에 등장한다.

폰 노이만 정의[편집]

집합론적 문제를 피하기 위해, 정렬 집합의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 존 폰 노이만이 제시하였고,[1] 오늘날 표준적인 정의다. 이에 따르면, 순서수 S는 다음 두 성질들을 만족시키는 집합이다.

  • 모든 T\in S에 대하여, T\subset S이다.
  • S의 원소들의 포함 관계 \subset전순서를 이룬다.

위의 정의를 만족하는 집합 S는 정칙성 공리(axiom of regularity)에 따라 자동적으로 정렬 집합이 된다. 모든 정렬 집합이 정확히 하나의 순서수와 순서동형이라는 것은 초한 귀납법을 이용해 보일 수 있다.

산술 연산[편집]

순서수들에 대해 덧셈, 곱셈, 지수 연산을 정의하는 것이 가능하다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 정렬 집합을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, 초한귀납법을 이용해 정의할 수도 있다. 유한 순서수의 경우, 순서수로서의 연산은 기수로서의 연산 및 자연수로서의 연산과 일치한다. 무한 순서수의 경우, 순서수의 연산은 극한 기수로서의 연산과 현저히 다르다.

정렬 집합 (S,\le)(T,\le)가 주어졌다고 하고, S의 순서형이 \alpha, T의 순서형이 \beta라고 하자. (폰 노이만 정의에서는 S=\alpha, T=beta로 놓을 수 있다.)

덧셈[편집]

서로소 합집합 S\sqcup T에 다음과 같은 정렬 순서를 주자.

s\le t\qquad\forall s\in S,\;t\in T

그렇다면 순서수의 \alpha+\betaS\sqcup T의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 합은 마찬가지로 다음과 같이 초한귀납법으로 정의할 수도 있다.

곱셈[편집]

곱집합 S\times T사전식 순서를 주자. 그렇다면 순서수의 \alpha\betaS\times T의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 곱은 마찬가지로 다음과 같이 초한귀납법으로 정의할 수도 있다.

거듭제곱[편집]

함수 집합

S^T=\prod_{i\in T}S

사전식 순서를 주자. 그렇다면 순서수의 거듭제곱 \alpha^\betaS^T의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 거듭제곱은 마찬가지로 다음과 같이 초한귀납법으로 정의할 수도 있다.

성질[편집]

순서수의 모임 \operatorname{Ord}고유 모임이다. 이 사실을 부랄리포르티 역설이라고 한다. \operatorname{Ord}의 임의의 부분집합에 대하여, 순서수의 순서 \le정렬 순서이다. 이는 자연수 집합이 정렬 집합이라는 것의 확장이며, 이 덕분에 순서수에 대해 초한 귀납법을 자유로이 사용할 수 있다.

폰 노이만 정의를 사용하고, 선택 공리를 가정하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • \alpha가 순서수이며, \beta\in\alpha라면 \beta 또한 순서수이다.
  • 순서수 \alpha\beta에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
    • \alpha<\beta
    • \alpha\in\beta
    • \alpha\subsetneq\beta
  • 순서수 \alpha에 대하여, \alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}이다. 즉, 순서수는 그보다 작은 모든 순서수들의 집합이다.
  • 임의의 순서수의 집합 S\subset\operatorname{Ord}상한\sup S=\bigcup S이다.
  • 순서수 \alpha에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
    • \alpha는 순서수로서 유한하다. 즉, \alpha<\omega이다.
    • \alpha는 (폰 노이만 정의에 따라) 집합으로서 유한 집합이다. 즉, |\alpha|<\aleph_0이다.
    • (\alpha,\le)의 역순서 (\alpha,\ge)정렬순서이다. 즉, \alpha에서 모든 부분집합이 최대 원소를 갖는다.
    • \alpha순서 위상을 부여하였을 때, 극한점을 갖지 않는다.

산술 연산의 성질[편집]

임의의 서수 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 다음이 성립한다.

덧셈의 성질
\eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta = \sup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta

로 정의하면 다음이 성립한다.

\alpha + \eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \alpha + \delta_\zeta
곱셈의 성질

그러나 곱셈은 교환 법칙 및 좌측 분배 법칙을 만족시키지 않는다.

2\omega=\omega\ne\omega2
(\omega+1)2=\omega+1+\omega+1=\omega2+1\ne\omega2+2

분류[편집]

모든 순서수들은 0 또는 따름순서수 또는 극한순서수로 분류된다.

유한 순서수[편집]

유한 순서수들은 자연수(음이 아닌 정수)들과 대응된다. 폰 노이만 정의에 따르면, 이들은

0=\varnothing
1=\{0\}=\{\varnothing\}
2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}

등의 집합으로 정의된다.

가산 무한 순서수[편집]

순서수 \omega^2의 형상화. \omega개의 \omega들이 모여 있다.

가장 작은 무한 순서수 \omega는 자연수 집합 전체의 순서형이며, 폰 노이만 정의에서는 이는 자연수의 집합과 같다.

\omega=\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}

그 다음에는 \omega+1, \omega+2 등의 순서수들이 존재한다.

\omega+1=\{0,1,2,\dots,\omega\}
\omega+2=\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1\}

마찬가지로, \omega+\omega=\omega\cdot2는 다음과 같다. (순서수의 곱셈은 가환하지 않으며, 2\omega=\omega\ne\omega\cdot2이다.)

\omega\cdot2=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\}
\omega\cdot2+1=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\omega\cdot2\}

마찬가지로, \omega\cdot3,\omega\cdot3+1,\dots 등이 존재한다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 모든 순서수(즉, 자연수 m과 n에 대해 ω·m+n으로 나타낼 수 있는 순서수)들의 집합(의 순서형)은 그 자체로 순서수가 되며, 이는 \omega^2이다. 비슷한 방법으로 \omega^3,\omega^4,\dots 등이 존재한다.

\omega,\omega^2,\omega^3,\dots의 극한은 \omega^\omega이고, 마찬가지로 \omega^{\omega^\omega} 등등이 존재한다.

\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots의 극한은 \epsilon_0라고 한다. 이 역시 가산 무한 순서수이다. 이는

\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0

을 만족시킨다.

비가산 무한 순서수[편집]

모든 가산 무한 순서수들의 집합의 순서형은 가장 작은 비가산 무한 순서수 \omega_1이다. 이는 가장 작은 비가산 무한 기수 \aleph_1과 같다.

응용[편집]

순서수의 개념은 초한 귀납법을 사용할 때 필요하다. 이를 사용하여, 무한한 구조를 귀납적으로 손쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 측도론에서 보렐 집합들은 어떤 기저로부터 생성되는 "생일"에 대응하는 순서수로 분류된다.

증명 이론에서는 주어진 수학 이론의 강력한 정도를 순서수로 측정하며, 이 이론을 순서수 분석이라고 한다. 순서수가 더 큰 이론은 순서수가 더 작은 이론의 무모순성을 증명할 수 있다.

역사[편집]

게오르크 칸토어가 1883년에 도입하였다.[2] 원래 순서수의 동치류로서의 정의는 고유모임이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 존 폰 노이만이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) von Neumann, Johann (1923년). Zur Einführung der trasfiniten Zahlen. 《Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis》 1 (4): 199–208.
  2. (독일어) Cantor, Georg (1883년). 《Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre》. JFM 15.0453.01

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]