정렬순서

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수학에서 정렬순서(整列順序, 영어: well-order)는 임의의 공집합이 아닌 부분집합최소원소를 갖는 전순서를 말한다. 즉, 정렬순서는 기초순서이면서 동시에 전순서인 것이다. 정렬순서가 주어진 집합을 정렬집합(整列順序集合, 영어: well-ordered set)이라고 한다.

간단히 말해, 정렬집합의 원소들은 중간의 어디에서부터든 작은 것부터 순서대로 세어나갈 수 있도록 정렬되어 있다.

정의[편집]

집합 S 위의 전순서 \le가 다음 성질을 만족시킬 경우, \le정렬순서라고 한다.

  • 모든 부분집합 A\subseteq S에 대하여, 만약 A\ne\varnothing인 경우, 모든 a\in A에 대하여 a\le\min A인 원소 \min A\in A가 존재한다.

정렬집합(영어: well ordered set)은 정렬순서가 갖추어진 집합이다.

성질[편집]

정렬집합 (S,\le)의 부분집합 A\subset S이 주어졌을 때, (A,\le) 역시 정렬집합이다.

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자연수 집합의 표준적인 순서는 정렬순서이다. 반면, 정수 집합의 표준적인 순서는 정렬순서가 아니다. 예를 들어, 정수 집합 전체는 최소 원소를 갖지 않는다.

유리수의 집합이나 실수의 집합, 심지어 음이 아닌 유리수나 실수의 집합의 표준적인 순서는 정렬순서가 아니다. 예를 들어, 음이 아닌 유리수들의 집합

A=\{1,1/2,1/3,1/4,\dots\}\subset[0,\infty)

의 경우, 하계 \min A가 존재하지 않으며, 오직 하한 \inf A=0\not\in A만이 존재한다.

모든 순서수고유모임 \operatorname{On} (또는 그 임의의 부분모임)의 표준적인 순서는 정렬순서이다. 선택공리를 가정할 경우, 기수진모임의 표준적인 순서 역시 정렬순서이다.

만약 선택공리를 가정하면, 정렬순서정리에 따라서 모든 집합이 정렬순서를 갖는다. 다만, 이 정렬순서는 구체적으로 명시하지 못할 수 있다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]