정다각형

정다각형(正多角形)은 모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 단순한(자기 자신과 교차하지 않는) 다각형이다. 변의 개수가 같은 정다각형 끼리는 모두 닮았다.

정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형, 정구각형, 정십각형, 정십일각형, 정십이각형, 정십삼각형, 정십사각형, 정십오각형, 정십육각형, 정십칠각형, 정십팔각형, 정십구각형, 정이십각형 등 정다각형의 종류는 무수히 많다.

성질

정$n$각형의 한 내각의 크기는 $180^{\circ }\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}$이다. 호도법으로는 $\pi \left(1-{\frac {2}{n}}\right)$ 라디안이며, 이것은 ${\frac {n-2}{2n}}$ 바퀴를 도는 각이다.

정다각형의 꼭지점은 모두 한 원위에 있다. 다시 말해 정다각형은 모두 원에 내접하는 다각형이다.

정$n$각형은 $n$의 홀수인 인수들이 모두 서로 다른 페르마 소수일 때, 그 때에만 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다.

$n$이 3 이상의 정수일 때, 정$n$각형의 대각선의 수는 ${\frac {n(n-3)}{2}}$ 이다. 다시 말해 정삼각형부터 차례로 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209, 230, 252, 275, ... 개의 대각선을 갖는다. 이들 대각선에 의해 각 정다각형은 1, 4, 11, 24, ... 개의 영역으로 나뉜다.

넓이

정$n$각형의 넓이는

$A={\frac {nt^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$

이다. 여기서 t 는 한 변의 길이이다. 이 식은 정다각형의 넓이는 둘레의 반과 변심거리(중심으로부터 한 변에 내린 수선의 길이)의 곱과 같다는 것을 말해 준다.

$t=1$ 일 때 위 식은

$A={\frac {n}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

와 같이 간단히 할 수 있으며 이것을 가지고 각각의 정다각형의 넓이를 구해 보면 다음과 같다.

정육각형의 변심거리

$n$	참값	근삿값
3	${\frac {\sqrt {3}}{4}}$	0.433
4	1	1.000
5	${\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1.720
6	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2.598
7		3.634
8	$2+2{\sqrt {2}}$	4.828
9		6.182
10	${\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7.694
11		9.366
12	$6+3{\sqrt {3}}$	11.196
13		13.186
14		15.335
15		17.642
16		20.109
17		22.735
18		25.521
19		28.465
20		31.569
100		795.513
1000		79577.210
10000		7957746.893

이 넓이들은 각각 둘레의 길이가 같은 원의 넓이에 비해 약 0.26 만큼씩 작다. $n<8$ 인 경우 그 차이는 약간 더 크고, 그 차이는 $n$ 이 커짐에 따라 줄어들며, 극한값은 π/12 이다.

대칭성

정$n$각형의 대칭변환군 은 위수(order) $2n$ 인 정이면체군 $D_{n}(D_{2},D_{3},D_{4},D_{5},D_{6},D_{7},D_{8},D_{9}\cdots )$ 이다. $D_{n}$ 은 $C_{n}$ 의 회전이동과 $n$ 개의 축에 대한 선대칭이동으로 이루어진다. 다시 말해 정$n$각형은 위수 $n$ 인 회전 대칭성이 있으며, $n$ 개의 축에 대해 선대칭이다. $n$ 이 짝수이면 대칭축 중에서 반은 마주보는 두 꼭지점을 지나는 직선이고 나머지 반은 마주보는 변들의 중점을 지나는 직선이다. $n$ 이 홀수일 때는 대칭축은 모두 한 꼭지점과 그것과 마주보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

볼록하지 않은 정다각형

정다각형의 개념을 확장하여 별 다각형를 포함하도록 하기도 한다. 별 다각형은 사실 볼록하지 않을 뿐 아니라 단순하지 않은 것이므로 이것을 "오목하다"고 말할 수는 없다(단순하면서 볼록하지 않은 다각형을 오목한 다각형이라고 하기 때문에). 별 다각형의 대표적인 예인 오각별은 정오각형의 꼭지점들을 (바로 이웃한 것과 연결하는 것이 아니라) 하나씩 걸러 변으로 연결함으로써 만들어진다.

다면체

모든 면이 정다각형이고, 어떤 두 꼭지점을 잡더라도 그 중 하나를 다른 하나로 보내는 그 자신 위의 합동변환이 존재하는 다면체를 고른 다면체라 한다.

같이 보기

• 정다각형 타일

바깥 고리

• Mathworld: Regular Polygon
• Regular Polygon description With interactive animation
• Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
• Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation