호프 연환

호프 연환

매듭 이론에서 호프 연환(Hopf連環, 영어: Hopf link)은 서로 얽힌 두 개의 원이다. 가장 간단한, 자명하지 않은 연환이다.

정의

호프 연환은 3차원 초구 $\mathbb {S} ^{3}$ 속의, 두 개의 연결 성분을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환이다. 그 알렉산더-브리그스 기호는 $2_{1}^{2}$이다.

이는 (2,2)-원환면 연환이다.

성질

호프 연환 $L$의 매듭 여집합 $\mathbb {S} ^{3}\setminus L$은 $\mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$과 미분 동형이며, 따라서 그 매듭군은

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus L)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 2}$

이다.

호프 올뭉치와의 관계

호프 올뭉치

$\pi \colon \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}$

를 생각하자. 임의의 $x,y\in \mathbb {S} ^{2}$에 대하여, 만약 $x\neq y$라면, 이 두 점의 원상으로 구성된 연환

$\pi ^{-1}(\{x,y\})\subsetneq \mathbb {S} ^{3}$

은 항상 호프 연환이다. 이로부터, 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 알 수 있다.

역사

16세기에 센요 소조(일본어: 専誉 僧正, 1530~1604)에 의하여 창시된, 진언종의 종파인 풍산파(일본어: 豊山派 부잔하^[*])의 몬은 호프 연환의 모양을 하고 있다. 또한, 일본 아소(일본어: 麻生) 가문의 가몬인 지가이쿠기누키(일본어: 違釘抜) 역시 호프 연환을 나타낸다.

또한, 독일 라인란트팔츠 주의 마을인 포메른안데르모젤(독일어: Pommern an der Mosel)의 문장 역시 호프 연환을 포함하고 있다.

• 
  진언종 풍산파의 몬은 호프 연환을 나타낸다.
• 
  일본의 아소 가문의 가몬은 호프 연환을 나타낸다.
• 
  독일 포메른안데르모젤의 문장은 호프 연환을 포함한다.

이후 하인츠 호프가 1931년에 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 증명하기 위하여 이 개념을 사용하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf link”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “L2a1”. 《The Knot Atlas》 (영어). 
• “Hopf link”. 《nLab》 (영어).