크로네커 정리

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크로네커 정리(독일어: Satz von Kronecker) 또는 체 이론의 기본 정리(The fundamental theorem of field theory)란 독일의 수학자인 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)가 제출하여 그의 이름이 붙은 대수학의 주요 정리 중 하나이다. 크로네커는 이 정리를 통해 임의의 에 대한 분해체의 존재성을 구성적 기법으로 증명하였다. 이 정리는 다음과 같이 표현된다:

  • F가 주어졌을 때, 이 체를 계수로 하는 다항식환 F[x]을 구성하자. 그러면 F[x] 상의 임의의 상수가 아닌 다항식 f(x)가 영점을 갖는 F의 확대체 K가 항상 존재한다.

증명(K의 구성)[편집]

F가 체이면, f(x)>F상에서 기약인 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 이를,

f(x)=P_1(x)P_2(x)...P_n(x)

로 쓴다. 이들 중 임의로 하나를 뽑아서 P_i(x)=a_0+a_1x+...+a_mx이라 하자. 그러면, F[x]주 아이디얼 정역이므로 이 위에서 P_i(x)에 의한 주 아이디얼 <P_i(x)>극대 아이디얼이 된다. 이제 새로운 체를

K=F[x]/<P_i(x)>

로 유도하면, F로부터 K로 가는 함수 g(a)를 다음과 같이 잡았을 때,

g(a)=a+<P_i(x)>

g(a)단사환 준동형사상이 되는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이 K가 바로 구하려던 확대체이다.

실제로, 대입함수를 구성해서 P_i(x)가 해를 가짐을 보일 수 있다. F[x]에서 K로의 대입함수 h_A를 다음과 같이 구성하면;

A=x+<P_i(x)>에 대하여, h_A

이 대입함수에 P_i(x)를 넣었을 때 A가 영점이 됨을 알 수 있다. 따라서 이것은 f(x)의 영점 역시 된다.

따름정리[편집]

크로네커 정리를 통해 바로 다음 따름정리가 유도된다:

  • F에 의해 생성된 F[x]상의 n차 다항식 f(x)f(x)=a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)...(x-c_n) 꼴로 인수분해할 수 있는 확대체 K가 항상 존재한다.

이 따름정리는 귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다. 이것은 크로네커 정리의 일반화된 형태인데, 이것을 크로네커 정리 자체로 보기도 한다.

이 정리의 간단한 응용으로, 실계수의 임의 n차 다항식 f(x)에 대하여 이 다항식이 반드시 n개의 영점(중근 포함)을 갖도록 하는 실수 집합 R의 확대체 K가 존재함을 알 수 있다. 실제로 대수학의 기본정리에 의하면, 이 확대체 중 하나는 복소수 집합 C가 된다. 또 대수학의 기본정리와 크로네커 정리를 결합하면, 복소수의 모든 원소는 C 상에서 대수적이며 임의의 복소계수다항식이 차수만큼의 영점을 갖는 최소의 확대체는 C 자신이다. 따라서 C에 포함되는 모든 체의 대수적 닫힘C임을 알 수 있다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • 김주필, 『알기 쉬운 대수학』, 도서출판 대선, 2002