자기수반작용소

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

작용소 이론에서, 자기수반작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator)는 힐베르트 공간 전체에 정의되고, 그 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

힐베르트 공간 (\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle) 전체에 정의된 선형작용소 A\colon\mathcal H\to\mathcal H가 다음을 만족시킨다고 하자. 모든 u,v\in\mathcal H에 대하여,

\langle u|Av\rangle=\langle Au|v\rangle

이 경우 A자기수반작용소라고 한다.

만약 A\mathcal H 전체 대신 선형부분공간 \operatorname{dom}A\subset\mathcal H에 정의되고, 모든 u,v\in\operatorname{dom}A에 대하여

\langle u|Av\rangle=\langle Au|v\rangle

을 만족시킨다면 A대칭작용소(영어: symmetric operator)라고 한다. 즉, 자기수반작용소는 힐베르트 공간 전체를 정의역으로 하는 대칭작용소이다. 유계 대칭작용소를 에르미트 작용소(영어: Hermitian operator)라고 한다. 헬링거-퇴플리츠 정리(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따라서, 모든 자기수반작용소는 에르미트 작용소이다.

만약 힐베르트 공간이 유한차원일 경우, 선형작용소는 정사각행렬로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용소가 자기수반일 필요충분조건은 그 행렬이 에르미트 행렬인지 여부이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1
  • (영어) Berezin, F. A., M. A. Shubin (1991년). 《The Schrödinger equation》. Klüwer
  • (영어) Hall, B. C. (2013년). 《Quantum Theory for Mathematicians》. New York: Springer
  • (영어) Reed, M., Barry Simon (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》. Academic Press
  • (영어) Teschl, G. (2009). 《Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators》. Providence: American Mathematical Society

바깥 고리[편집]