이차 리 대수

리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• $K$-비퇴화 쌍선형 형식 ${\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to K$, $x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle$

아인슈타인 표기법을 사용하여, ${\mathfrak {g}}$의 원소를 $t^{i}$와 같이 윗첨자로 표기하고, ${\mathfrak {g}}$의 구조 상수를

$[t^{i},t^{j}]=f^{k}{}_{ij}t^{i}t^{j}$

와 같이 적고 ($f^{k}{}_{ij}=-f_{ji}^{k}$), 쌍선형 형식을

$\langle t^{i}|t^{j}\rangle =C_{ij}t^{i}t^{j}$

와 같이 적을 경우 ($C_{ij}=C_{ji}$), 위 조건은 다음과 같다.

$0=C_{l(j}f^{l}{}_{k)i}=C_{lj}f^{l}{}_{ki}+C_{lk}f^{l}{}_{ji}$

여기서 $(\dotso )$는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산

같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

이중 확대

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-이차 리 대수 $({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )$
• $K$-리 대수 ${\mathfrak {h}}$ 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 $\langle -|-\rangle _{\mathfrak {h}}$ (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
• $K$-리 대수 준동형 $(\cdot )\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\cap {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})$ (여기서 ${\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})$는 대칭 쌍선형 형식 $\langle -|-\rangle$에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합 $K$-벡터 공간

${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }$

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

$\langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle$

$[(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))$

$[(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0$

$[(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} _{h})$

여기서

$\omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{*}$

$\omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle$

이다. 이를 ${\mathfrak {g}}$의, ${\mathfrak {h}}$를 통한 이중 확대(영어: double extension)라고 한다.^{:553–554, §0.2}

만약 $K=\mathbb {R}$일 때, ${\mathfrak {g}}$의 부호수가 $(m_{+},m_{-})$이며, ${\mathfrak {h}}$가 $n$차원이라면, $h$ 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, ${\mathfrak {g}}$의 ${\mathfrak {h}}$를 통한 이중 확대의 부호수는 $(m_{+}+n,m_{-}+n)$이다.

증명:

이중 확대 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }$에서, ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }$의 부호수를 계산하면 된다. ${\mathfrak {h}}$ 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }$ 위의 대칭 쌍선형 형식은

${\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix}}\qquad (a\in \{0,1,-1\})$

의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 $a$의 값에 관계 없이 모두 부호수가 $(1,1)$임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질

비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3}

• 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
• 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

증명:

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

분류

실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.^{:Théorème Ⅱ} 즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^{:Théorème Ⅱ}

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^{:Théorème Ⅲ}

• 직합
• 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 ${\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$

예

표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

비콤팩트 이차 리 대수

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 ${\mathfrak {g}}[t]$ 위에 리 괄호

$[p,q]_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]_{\mathfrak {g}}$

를 줄 수 있다. 또한, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여,

$t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}$

는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

${\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus _{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}$

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

$\langle x_{0}+x_{1}t+\dotsb +x_{n-1}t^{n-1}|y_{0}+y_{1}t+\dotsb +y_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle _{\mathfrak {g}}$

그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 $K$가 표수 0의 체이며, ${\mathfrak {g}}$가 단순 리 대수이며, $n\geq 2$일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수

다음과 같은 리 대수를 생각하자.^{:Proposition 2.2}

${\mathfrak {g}}_{4}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{C,L_{+},L_{-},C^{*}\}$

$[C,L_{\pm }]=\pm L_{\pm }$

$[L_{+},L_{-}]=C^{*}$

$[L_{\pm },L_{\pm }]=0$

$[C,C^{*}]=[L_{\pm },C^{*}]=0$

여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

$\langle C^{*}|C\rangle =1$

$\langle L_{\pm }|L_{\mp }\rangle =1$

$\langle L_{\pm }|L_{\pm }\rangle =\langle C|C\rangle =\langle C^{*}|C^{*}\rangle =\langle C^{*}|L_{\pm }\rangle =\langle C|L_{\pm }\rangle =0$

을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.^{:Proposition 2.3}

${\mathfrak {g}}_{5}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},x_{2},t,x^{1},x^{2}\}$

$\langle x_{i}|x^{j}\rangle =\delta _{i}^{j}$

$\langle x_{i}|x_{j}\rangle =0$

$\langle t|t\rangle =1$

$[x_{1},x_{2}]=t$

$[x_{i},t]=-\epsilon _{ij}x^{j}$

$[x^{j},t]=[x_{i},x^{j}]=0$

여기서 $\delta _{i}^{j}$는 크로네커 델타이며, $\epsilon _{ij}$는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

낮은 차원의 이차 리 대수

6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수^{:Theorem 4.11}

차원	이차 리 대수
3	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )$
6	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)$에 의한 이중 확대 $0\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{*}$
	${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)$에 의한 이중 확대 $0\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )^{*}$
	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$
8	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {su}}(3;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {su}}(2,1;\mathbb {R} )$
9	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})$
	${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})$
10	${\mathfrak {o}}(3,2)$
	${\mathfrak {o}}(4,1)$
	${\mathfrak {o}}(5)$
	$V=\mathbb {R} ^{2}$일 때, 이중 확대 $V\otimes V\oplus {\mathfrak {sl}}(V)\oplus {\mathfrak {sl}}(V)^{*}$.:Example 3.11 여기서 $\langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle =\langle u,v\rangle \langle u',v'\rangle$이며 $M\cdot (u\otimes v)=Mu\otimes v$ ($u,v\in V,\;M\in {\mathfrak {sl}}(V)$)
	$W=\mathbb {C} ^{2}$일 때, 이중 확대 $V\oplus {\mathfrak {su}}(W)\oplus {\mathfrak {su}}(W)^{*}$.:Example 4.7. 여기서 $\langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle _{\mathbb {C} }+\langle v,u\rangle _{\mathbb {C} }$이며 $\langle -,-\rangle _{\mathbb {C} }$는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
11	(총 3개)
12	(총 9개)
13	(총 4개)

아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수^{:Proposition 2.2, 2.3, 3.8}

차원	이차 리 대수
4	${\mathfrak {g}}_{4}$ (※위 문단을 참고)
5	${\mathfrak {g}}_{5}$ (※위 문단을 참고)
6	(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)

외부 링크

• “A terminology issue with the Killing form”. 《Math Overflow》 (영어).