에르고딕성

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에르고딕 이론에서, 에르고딕성(영어: ergodicity)은 어떤 동역학계의 궤적이 거의 항상 공간 전체를 밀집하게 채우는 성질을 뜻한다.

정의[편집]

확률공간 (X,\Sigma,\mu) 위에 측도 보존 변환 T\colon X\to X가 주어졌다고 하자. 다음 네 조건은 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 T\mu에 대하여 에르고딕하다고 한다.

  • 모든 측정가능집합 E\in\Sigma에 대하여, T^{-1}(E)=E라면 \mu(E)\in\{0,1\}이다.
  • 모든 측정가능집합 E\in\Sigma에 대하여, \mu(T^{-1}(E)\setminus E\cup E\setminus T^{-1}(E))=0이라면 \mu(E)\in\{0,1\}이다.
  • 모든 측정가능집합 E\in\Sigma에 대하여, \mu(E)>0이라면
\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}(E)\right)=1
이다.
  • 모든 측정가능집합 E,F\in\Sigma에 대하여, \mu(E),\mu(F)>0이라면
\mu\left(T^{-n}(E)\cap F\right)>0
인 양의 정수 n이 존재한다.

역사[편집]

"에르고딕"이라는 단어는 고대 그리스어: ἔργον 에르곤[*](일) + 고대 그리스어: ὁδός 호도스[*] (경로)에서 유래한다. 루트비히 볼츠만통계역학에서 이 용어를 1887년 최초로 사용하였다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Anosov, D.V. (2001). Ergodicity. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.

같이 보기[편집]