아벨의 극한 정리

해석학에서 아벨의 극한 정리(Abel's Limit Theorem)는 유한 수렴반경을 갖는 멱급수에 관해, 수렴 반경의 끝점에서 그 수렴성만 인정되면 곧바로 멱급수의 연속성을 보장하여 여러 가지 수학적 기법들을 응용할 수 있게 해 주는 정리이다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)이 제시하여 그의 이름이 붙었다. 보통 '극한'을 생략하여 아벨의 정리(Abel's Theorem)로 부를 정도로 유명한 정리이다.

공식화

일반적으로, 아벨의 극한 정리는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

• 수렴반경이 유한한 양수 $R$인 실계수의 멱급수 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_{n}\left( x \right)^{n}}$ 를 가정하자. 만약 $x$ 가 $R$에서 수렴하면, 즉 $R-0$ 으로 가는 극한에서 이 급수의 극한이 존재하면, 이 급수는 $x= R$에서 연속이고 [0, R]에서 균등수렴한다. 그러므로, $\lim_{x\rightarrow R-0}f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_{n}\left( R \right)^{n}}$ 이 된다.(반대쪽 끝에서도 같은 꼴의 정리가 성립한다)

이 증명은 해석학을 어느 정도 다룬 책들에서 찾아볼 수 있는데, 비교적 형식적인 면에서 엄밀화하기 위한 것들이 대부분이므로 생략한다.

복소변수로의 확장

복소급수까지 이 정리를 확장하면 다음과 같이 기술할 수 있다.

• 수렴반경이 유한한 양수 $R$인 복소계수의 멱급수 $f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_{n}\left( z \right)^{n}}$ 를 가정하자. 만약 $z$ 가 $|z|= R$ 을 만족하는 원 상의 어떤 점 $z_0$ 에서 급수가 수렴하면, $\lim_{a\rightarrow 1-0}f(az_0) = \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_{n}\left( z_0 \right)^{n}}$ 이 된다.

응용

아벨의 극한 정리는 특히 어떤 무한급수의 합을 구할 때 그것을 적분으로 변환시키기 위해 종종 이용된다. 이러한 특성은 적분에 관하여 아벨의 합 공식이 그러한 것과 유사하다.

실제로, 아벨의 극한 정리를 이용해 무한급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{3n+1} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{7} - ...$를 계산해 보자. 정리에 의하여 이 식은,

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{3n+1} = \lim_{x\rightarrow 1-0}{(x - \frac{x^4}{4} + \frac{x^7}{7} - ...)}$

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 우변 극한 안쪽의 식을 $F(x)$라 놓고 이를 미분한다. 그러면,

$F'(x) = 1 - x^3 + x^6 - ...$

이 된다. $x$의 범위를 고려하여 이를 무한등비급수의 합 공식에 적용하면,

$F'(x) = \frac{1}{1 + x^3}$

과 같이 된다. 다시 이 식을 $0$ 부터 $x$ 까지 적분하면,

$F(x) = \frac{1}{6} \log\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x - 1}{\sqrt3} + \frac{\pi}{6\sqrt3}$

이 되는데, 여기서 $x$ 를 $1 - 0$으로 접근시키는 극한을 취하면, 최종적으로

$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{7} - ... = \frac{1}{3} \log 2 + \frac{\pi}{3\sqrt3}$

의 식을 얻는다.

같이 보기

• 아벨의 합 공식
• 균등수렴

참고 문헌

• 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007
• Konrad Knopp, Theory And Application of Infinite Series, Dover, 1990