산술-기하 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명이다.
PR은 중심이 O인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 a와 b의 산술 평균이다. 사영 정리를 쓰면, 삼각형 PGR에서 PR을 밑변으로 할 때의 높이 GQ는 기하 평균이다. a:b의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ이다.

(x + y)² ≥ 4xy의 시각적인 증명이다. 양변에 제곱근을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.

수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

정의

음이 아닌 실수들 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0$이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

증명

귀납적 증명

음이 아닌 실수 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0$ 및 그 산술 평균

$x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$

$x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, $n=1$인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, $n$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식

$x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}$

$x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}$

$x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}}{n+1}}$

을 보이자.

만약 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}$라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, $x$보다 큰 수와 $x$보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, $x_{n}>x>x_{n+1}$라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

$(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0$ ①

이다. 또한, 양의 실수

$y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0$

를 정의하면, 다음에 따라, $x$는 $n$개의 음이 아닌 실수 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y$의 산술 평균이기도 하다.

${\begin{aligned}nx&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}}$

귀납 가정에 따라,

$x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx$ ②

이며, 또한 ①에 따라

$yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0$

이므로,

$yx>x_{n}x_{n+1}$ ③

이다. ②와 ③에 따라,

$x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}$ ④

④에서, $x>0$이므로, 만약 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}$ 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

코시의 증명

모든 항이 같은 경우

만약

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 $x_{1}$로 같다.

모든 항이 같지는 않은 경우

만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 $n>1$이다.

n = 2

서로 다른 두 항 $x_{1},x_{2}$가 주어지면,

${\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}$

이므로,

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}$

이다.

n = 2^k

$n$이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, $k$에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

$k=1$인 경우, 즉 $n=2$인 경우는 이미 증명되었다.

$k-1$에 대한 부등식의 가정 아래, $k$에 대한 부등식을 보이자.

${\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}$

여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}$

$x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}}$

이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}}$

이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}$

이다.

n < 2^k

$n$이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, $n$보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 $m$을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 및 그 산술 평균 $x$가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 $m$개로 확장하자.

$x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x$

그렇다면, 이미 증명한 $m$에 대한 부등식에 따라,

${\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}$

따라서,

$x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}$

즉,

$x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

이다.

미분을 통한 증명

우선, $n=1,2$인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, $n>1$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1>2$에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 $x_{1}\neq x_{2}$이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0$

이는 음이 아닌 실수 $x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0$을 고정하고, 함수

$f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)$

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

$f(x_{n+1})>0$

극값을 구하기 위해, $f$의 미분을 취하자.

$f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}$

따라서, $f$는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

$f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}$

따라서, $f$의 가능한 극값은 다음과 같다.

$f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}>0$

${\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}$

$\lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0$

여기서, $f(t_{0})=0$일 수 없는 이유는, 이미 $x_{1}\neq x_{2}$이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 $t\geq 0$에 대하여,

$f(t)>0$

이다. 특히, $t=x_{n+1}$일 경우,

$f(x_{n+1})>0$

이다. 이렇게 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

볼록성을 통한 증명

산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 $x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0$에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

$\ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})$

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

$(\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)$

에 따라 성립한다.

관련 정리

가중 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x₁, x₂, …, x_n과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_n가 있을 때, 가중치의 합 $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$이라 하면 다음이 성립한다.

${\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

마찬가지로 이 부등식은 모든 x_k들이 같을 때 등식이 된다.

가중 산술-기하 평균 부등식의 증명

$\alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)$를 가중치로 갖는 $x_{k}$은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 $\alpha _{k}$는 양수라고 가정할 수 있다.

$f(x)=lnx$에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

$x>0$일 때 $f(x)=lnx$는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

${\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}$

이다. $f(x)=lnx$는 단조증가함수이므로

${\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

가 성립함이 증명된다.

제곱-산술-기하-조화 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}$

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})$

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})$

기타

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

외부 링크

• 이철희. “산술기하조화평균과 부등식”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Arithmetic-logarithmic-geometric mean inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cauchy's mean theorem”. 《ProofWiki》 (영어).