등변 코호몰로지

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대수적 위상수학에서, 등변 코호몰로지(等變cohomology, 영어: equivariant cohomology)는 군 코호몰로지특이 코호몰로지를 일반화하는 코호몰로지 이론이다.

정의[편집]

X위상공간이고, G위상군이라고 하자. 군의 작용 X\times G\to G를 생각하자. 그렇다면 등변 코호몰로지 H^\bullet_G(X)호모토피 궤도 공간(영어: homotopy orbit space)이라는 위상공간 X_{\text{h}G}특이 코호몰로지이다.

H^\bullet_G(X)=H^\bullet(X_{\text{h}G})

호모토피 궤도 공간은 다음과 같이 정의된다. G분류 공간 EG\to BG를 생각하자. 그렇다면 EGG-주다발이므로 G의 작용이 존재한다. 따라서, X\times BG에 (대각) G-작용이 존재한다. 호모토피 궤도 공간 X_{\text{h}G}는 이 작용의 궤도 공간이다.

X_{\text{h}G}=X\times_GEG

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G자명군이라고 하자. 자명군의 분류 공간은 하나의 점만을 갖는 위상공간 BG=EG=\{\bullet\}이다. 따라서, X\times_GEG\cong X이며, 이 경우 H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(X)이다. 즉, 자명군에 대한 등변 코호몰로지는 단순히 특이 코호몰로지이다.

반대로, X가 하나의 점만을 같는 위상공간 X=\{\bullet\}이라고 하자. 이 경우, X\times_GEG\cong BG이므로, H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(BG)는 단순히 G군 코호몰로지이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]