닫힘 (위상수학)

위상수학에서, 어떤 위상공간 $X$의 부분집합 $S$의 닫힘 또는 폐포, 닫힘체(closure)는 $S$를 포함하는 가장 작은, 닫힌 부분집합이다. 이것은 $X$ 안에 있는, S의 모든 포함집합(superset)의 교집합으로 구성된다.

표기 규약

$S$의 닫힘체는 $Cl(S)$ 또는 $\overline S$로 표기한다. 만약 $X$에 대해 하나 이상의 위상(topology)이 있으면 (예를 들어, $\mathfrak{T}$와 $\mathfrak{T}'$) 이들 서로 다른 위상은 서로 다른 닫힘체를 생겨나게 한다. 이를 나타내기 위해 아래 첨자를 덧붙여 $Cl_{\mathfrak{T}}(S)$ 처럼 쓸 수도 있다. 만약 그 위상이 어떤 다른 구조에 의해 정의된 것이라면, 예를 들어 거리(metric) $d$ 같은 것에 의해 정의되었다면, $d$를 $\mathfrak{T}$ 대신에 첨자로 써도 된다.

닫힘과 집합연산

닫힘과 집합연산(합집합과 교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

• $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$
• $\overline{A \cap B} \subseteq \overline A \cap \overline B$

보다 일반적으로, 다음이 성립한다.

• $\cup_{a\in I} \overline A_a \subseteq \overline{\cup_{a\in I} A_a}$
• $\overline{\cap_{a\in I} A_a} \subseteq \cap_{a\in I} \overline A_a$

유한한 경우와는 달리 여기서 첫 번째 식은 등식이 되지 않는데, 반례로 보통위상공간에서 n이 자연수 집합일 때 $A_n = [0, \frac{n-1}{n}]$ 이 있다. 이 식이 등식이 될 필요충분조건은 $\cup_{a\in I} \overline A_a$이 닫힌집합인 것이다.