닫힘 (위상수학)

닫힘(closure), 폐포, 또는 닫힘체는 위상수학의 용어이다. 어떤 위상공간 $X$의 부분집합 $S$가 주어졌을 때, $S$의 닫힘 $\overline S$는 $X$에 대하여 닫혀 있는 $S$의 포함집합(superset) 중 가장 작은 집합을 말한다.

정의

닫힘점

위상공간 $X$와 그 부분집합 $S$가 주어졌을 때, 점 $x \in X$의 모든 근방이 $S$와 비어 있지 않은 교집합을 갖는다면, $x$를 $S$의 닫힘점이라 한다.

닫힘점은 극한점과 비슷하지만, $S$에 포함되어 있어도 된다는 점에서 다르다. 극한점이 아닌 닫힘점은 고립점이 된다.

닫힘

위상공간 $X$와 그 부분집합 $S$가 주어졌을 때, $S$의 모든 닫힘점의 집합을 S의 닫힘이라 정의하고, $Cl(S)$ 또는 $\overline S$라 표기한다.

만약 $X$에 대해 하나 이상의 위상이 있으면 (예를 들어, $\mathfrak{T}$와 $\mathfrak{T}'$) 이들 서로 다른 위상은 서로 다른 닫힘을 생겨나게 한다. 이를 나타내기 위해 아래 첨자를 덧붙여 $Cl_{\mathfrak{T}}(S)$ 처럼 쓸 수도 있다. 만약 그 위상이 어떤 다른 구조에 의해 정의된 것이라면, 예를 들어 거리(metric) $d$ 같은 것에 의해 정의되었다면, $d$를 $\mathfrak{T}$ 대신에 첨자로 써도 된다.

성질

다음 설명에서 ‘닫혀 있다’는 것은 전부 공간 $X$에 대해 닫혀 있다는 것을 뜻한다.

• $\overline S$는 $S$를 포함하는 닫힌 집합이다.
• $\overline S$는 $S$를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합이다. 즉, $S$를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.
• $S$가 닫혀 있다는 것은 $\overline S = S$와 동치이다.
• $S \subset T$이면 $\overline S \subset \overline T$이다.
• $A$가 닫혀 있다면, $S \subset A$와 $\overline S \subset A$는 동치이다.

닫힘과 집합연산

닫힘과 집합연산(합집합과 교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

• $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$
• $\overline{A \cap B} \subseteq \overline A \cap \overline B$

보다 일반적으로, 다음이 성립한다.

• $\cup_{a\in I} \overline {A_a} \subseteq \overline{\cup_{a\in I} A_a}$
• $\overline{\cap_{a\in I} A_a} \subseteq \cap_{a\in I} \overline {A_a}$

유한한 경우와는 달리 여기서 첫 번째 식은 등식이 되지 않는데, 등식이 성립한다는 것은 $\cup_{a\in I} \overline {A_a}$이 닫힌 집합인 것과 동치이다. 등식이 성립하지 않는 예로 1차원 유클리드 공간 상에서 n이 자연수 집합일 때 $A_n = \left[ 0, \frac{n-1}{n} \right]$이 있다.