관상 주변

미분기하학에서, 관상 주변(管狀周邊, 영어: tubular neighbo(u)rhood)은 어떤 부분 다양체의 근방과, 이 부분 다양체의 법다발 사이의 위상 동형이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $Y$
• $Y$의 부분 집합 $X\subseteq Y$. 그 포함 사상을 $\iota \colon X\hookrightarrow Y$라고 하자.

$X$의 관상 주변은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow X$
• 단사 연속 함수 $f\colon E\to Y$. 이는 $E$와 $f(E)$ 사이의 위상 동형을 정의해야 한다..

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 값이 항상 0인 단면 $z\colon X\to E$에 대하여, $f\circ z=\iota \colon X\to Y$이다.

성질

존재와 유일성

매끄러운 다양체 $M$, $N$ 및 매끄러운 매장 $\iota \colon M\hookrightarrow N$이 존재한다고 하자. 그렇다면, $\iota$는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 법다발

$\mathrm {N} _{\iota }M=\iota ^{*}\mathrm {T} N/\mathrm {T} M$

으로 잡을 수 있다.

$\iota$의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을 $\operatorname {Tub} (\iota )$라고 하자. 이는 포함 관계

$\operatorname {Tub} (\iota )\subseteq {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathrm {N} _{\iota }M,N)$

를 갖는다. ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathrm {N} _{\iota }M,N)$ 위에 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 위상을 부여할 수 있다. 만약 $M$과 $N$이 추가로 콤팩트 공간이라면, 그 부분 공간 $\operatorname {Tub} (\iota )$는 축약 가능 공간이다.^{:Proposition 31} 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다.

폰트랴긴-톰 사상

두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 매장 $\iota \colon X\hookrightarrow Y$의 관상 주변

$f\colon \mathrm {N} _{\iota }X\to Y$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$의 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 다음과 같은 연속 함수이다.

$\operatorname {coll} (f)\colon Y\to {\frac {Y}{Y\setminus \operatorname {im} f}}\cong \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)$

이는 물론 몫공간에 대한 표준적 전사 함수이다. 그 공역 $Y/(Y\setminus \operatorname {im} f)$은 정의에 따라 법다발의 톰 공간 $\operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)$과 위상 동형이며, 이 위상 동형의 호모토피류는 표준적이다.

특히, $Y=\mathbb {S} ^{k+n}$ (초구)인 경우를 생각하자. 휘트니 매장 정리에 따라서, 모든 $n$차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구 $\mathbb {S} ^{k+n}$ 속의 매장

$\iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k+n}$

을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 호모토피 군의 원소

$\operatorname {coll} (\iota )\colon \mathbb {S} ^{k+n}\to \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)$

를 정의한다. 법다발은 $\operatorname {O} (k)$의 구조를 가지므로, 분류 공간 $\operatorname {BO} (k)$로 가는, 법다발을 분류하는 사상 $\phi _{\iota }\colon X\to \operatorname {BN} (k)$을 찾을 수 있다. 즉,

$\mathbb {S} ^{n+k}\,{\xrightarrow {\operatorname {coll} }}\,X\,{\xrightarrow {\phi }}\,\operatorname {BO} (k)$

이다.

선형 포함 관계

$\mathbb {R} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow \dotsb$

의 알렉산드로프 콤팩트화

$\mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \dotsb$

에 따라, 이는 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라는 어떤 스펙트럼의 안정 호모토피 군의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장 $\iota$에 의존하지 않으며, $M$의 보충 경계에 대한 모든 정보를 담고 있다 (톰 정리 영어: Thom’s theorem).

역사

폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 르네 톰과 레프 폰트랴긴의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Tubular neighborhood”. 《nLab》 (영어). 
• “Pontrjagin-Thom collapse map”. 《nLab》 (영어). 
• “Thom spectrum”. 《nLab》 (영어).