폐포 (위상수학): 두 판 사이의 차이
편집 요약 없음 |
편집 요약 없음 |
||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
[[위상수학]]에서, |
[[위상수학]]에서, '''폐포'''(閉包, {{llang|en|closure}})는 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]]을 포함하는 가장 작은 [[닫힌집합]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용 |
||
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page |
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page |
||
|이름=James R. |
|이름=James R. |
||
12번째 줄: | 12번째 줄: | ||
|zbl=0951.54001 |
|zbl=0951.54001 |
||
|mr=0464128 |
|mr=0464128 |
||
}}</ref> 이는 그 부분 집합의 원소와 [[극한점]]으로 구성된다.<ref name="Munkres" /> <math>A</math>의 폐포는 <math>\operatorname{cl}A</math> 또는 <math>\bar A</math>와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 <math>\operatorname{cl}_{(X,\mathcal T)}A</math> 또는 <math>\operatorname{cl}_XA</math> 또는 <math>\operatorname{cl}_{\mathcal T}A</math>와 같이 쓸 수도 있다. |
|||
}}</ref> 그 집합에 속하는 점과 그 집합의 [[극한점]]으로 구성된다.<ref name="Munkres" /> |
|||
위상 공간의 부분 집합 <math>A</math>의 폐포는 <math>\operatorname{cl}A</math> 또는 <math>\bar A</math>와 같이 표기한다. 서로 다른 위상에서 정의되는 서로 다른 폐포를 구별하기 위해 아래 첨자를 덧붙여 <math>\operatorname{cl}_\mathcal TA</math>와 같이 쓸 수도 있다. 만약 예를 들어 [[거리 공간|거리 함수]] <math>d</math>에 의해 유도된 위상이라면, 대신 <math>d</math>를 첨자로 써도 된다. |
|||
== 정의 == |
== 정의 == |
||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 '''폐포점'''(閉包點, {{llang|en|point of closure}}) |
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>이 주어졌다고 하자. 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>x</math>를 <math>A</math>의 '''폐포점'''(閉包點, {{llang|en|point of closure}})이라고 한다. |
||
* <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>U\cap A\ne\varnothing</math>이다. |
* <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>U\cap A\ne\varnothing</math>이다. |
||
* <math>x</math>의 모든 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>U\cap A\ne\varnothing</math>이다. |
|||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 '''폐포''' <math>\operatorname{cl}A</math>는 <math>A</math>의 모든 폐포점들의 집합이다. |
|||
== 성질 == |
== 성질 == |
||
=== 극한점과의 관계 === |
|||
다음과 같은 성질들이 성립한다. |
|||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. |
|||
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 폐포점이다. |
|||
* <math>x\in A</math>이거나, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[극한점]]이다. |
|||
** <math>A=\operatorname{cl}A</math> |
|||
** <math>A\supseteq\operatorname{cl}A</math> |
|||
** <math>A\supseteq A'</math> (여기서 <math>(-)'</math>는 [[유도 집합]]이다.) |
|||
* 폐포 <math>\operatorname{cl}A</math>는 <math>A</math>를 포함하는 모든 [[닫힌집합]]들의 교집합이다. 즉, <math>A</math>를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. |
|||
* <math>\operatorname{cl}A=A\cup A'=\operatorname{int}A\sqcup\partial A</math> (여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]], <math>\partial</math>는 [[경계 (위상수학)|경계]], <math>\sqcup</math>은 [[분리 합집합]]이다.) |
|||
* <math>\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}A\cup\operatorname{cl}B</math> |
|||
* <math>\operatorname{cl}(A\cap B)\subseteq\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}B</math> |
|||
* <math>\textstyle\operatorname{cl}\bigcup_{i\in I}A_i\supseteq\bigcup_{i\in I}\operatorname{cl}A_i</math> |
|||
* <math>\textstyle\operatorname{cl}\bigcap_{i\in I}A_i\subseteq\bigcup_{i\in I}\operatorname{cl}A_i</math> |
|||
* <math>\operatorname{cl}(X\setminus A)=X\setminus\operatorname{int}A</math> |
|||
즉, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>와 그 [[유도 집합]]의 합집합이다. |
|||
== 예 == |
|||
:<math>\operatorname{cl}A=A\cup A'</math> |
|||
폐포를 취하는 연산은 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다. 예를 들어, 표준적인 위상인 [[순서 위상]]을 갖춘 [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위에서 다음과 같은 집합들을 생각할 수 있다. |
|||
:<math>A_n=(0,1-1/n)</math> |
|||
=== 닫힌집합과의 관계 === |
|||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다. |
|||
* [[닫힌집합]]이다. |
|||
* <math>\operatorname{cl}A=A</math> |
|||
* <math>\operatorname{cl}A\subseteq A</math> |
|||
* <math>A'\subseteq A</math> |
|||
반대로, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>를 포함하는 모든 [[닫힌집합]]들의 교집합이다. 즉, 이는 <math>A</math>를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. |
|||
=== 내부·경계와의 관계 === |
|||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. |
|||
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 폐포점이다. |
|||
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[내부점]]이거나 [[경계점]]이다. |
|||
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 여집합 <math>X\setminus A</math>의 [[내부점]]이 아니다. |
|||
즉, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>의 여집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 여집합이며, 또한 <math>A</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]와 [[경계 (위상수학)|경계]]의 [[분리 합집합]]이다. |
|||
:<math>\operatorname{cl}A=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus A)</math> |
|||
:<math>\operatorname{cl}A=\operatorname{int}A\sqcup\partial A</math> |
|||
반대로, <math>A</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]]는 <math>A</math>와 그 여집합의 폐포의 교집합이다. |
|||
:<math>\partial A=\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}(X\setminus A)</math> |
|||
=== 항등식 === |
|||
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A,B\subseteq X</math> 및 집합족 <math>\mathcal A</math>에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다. |
|||
:<math>\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}A\cup\operatorname{cl}B</math> |
|||
:<math>\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)\supseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A</math> |
|||
:<math>\operatorname{cl}\left(\bigcap\mathcal A\right)\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A</math> |
|||
즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다. |
|||
{{증명|제목=반례}} |
|||
표준적인 위상을 갖춘 [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자. |
|||
:<math>A_n=(1/n,1)\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math> |
|||
:<math>A=(0,1)</math> |
:<math>A=(0,1)</math> |
||
:<math>B=(1,2)</math> |
:<math>B=(1,2)</math> |
||
그렇다면, <math>A_n</math>의 합집합 <math>(0,1)</math>의 폐포 <math>[0,1]</math>는 <math>A_n</math>의 폐포 <math>[1/n,1]</math>의 합집합 <math>(0,1]</math>을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, <math>A</math>와 <math>B</math>의 교집합의 폐포는 [[공집합]]이며, 이는 <math>A</math>의 폐포 <math>[0,1]</math>와 <math>B</math>의 폐포 <math>[1,2]</math>의 교집합 <math>\{1\}</math>의 진부분 집합이다. |
|||
그렇다면, |
|||
{{증명 끝}} |
|||
:<math>\operatorname{cl}\bigcup_{n=1}^\infty A_n=[0,1]\supsetneq[0,1)=\bigcup_{n=1}^\infty\operatorname{cl}A_n</math> |
|||
:<math>\operatorname{cl}(A\cap B)=\varnothing\subsetneq\{1\}=\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}B</math> |
|||
이다. |
|||
== |
== 예 == |
||
=== 이산 공간 === |
|||
* [[내부 (위상수학)]] |
|||
[[이산 공간]]의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다. |
|||
=== 비이산 공간 === |
|||
[[비이산 공간]]의 [[공집합]]이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다. |
|||
=== 열린 공 === |
|||
(표준적인 위상을 갖춘) [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math> 위의 [[열린 공]] |
|||
:<math>\operatorname{ball}(0,1)=\{x\in\mathbb R^d\colon\Vert x\Vert<1\}</math> |
|||
의 폐포는 [[닫힌 공]] |
|||
:<math>\operatorname{cl}\operatorname{ball}(0,1)=\operatorname{closed\,ball}(0,1)=\{x\in\mathbb R^d\colon\Vert x\Vert\le 1\}</math> |
|||
이다. 그러나 이는 일반적인 [[거리 공간]] 위에서 성립하지 않는다. |
|||
{{증명|제목=반례}} |
|||
다음과 같은 [[이산 거리 함수]]를 갖춘 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>을 생각하자. |
|||
:<math>d(x,y)=\begin{cases}1 & x\ne y \\ 0 & x=y \end{cases}</math> |
|||
이 경우 중심 <math>x\in X</math>, 반지름 1의 [[열린 공]]과 [[닫힌 공]]은 다음과 같다. |
|||
:<math>\operatorname{ball}(x,1)=\{x\}</math> |
|||
:<math>\operatorname{closed\,ball}(x,1)=X</math> |
|||
이 [[거리 공간]]은 ([[거리 위상]]에 대하여) [[이산 공간]]을 이루므로, 모든 부분 집합의 폐포는 자기 자신이다. 특히 위 [[열린 공]]의 폐포는 자기 자신 <math>\{x\}</math>이며, 만약 <math>|X|\ge 2</math>일 경우 이는 위 [[닫힌 공]]과 일치하지 않는다. |
|||
{{증명 끝}} |
|||
=== 균등 공간 === |
|||
([[균등 위상]]을 갖춘) [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 폐포는 다음과 같다.<ref name="James">{{서적 인용 |
|||
|성=James |
|||
|이름=I. M. |
|||
|제목=Topological and Uniform Spaces |
|||
|언어=en |
|||
|총서=Undergraduate Texts in Mathematics |
|||
|출판사=Springer-Verlag |
|||
|위치=New York, NY |
|||
|날짜=1987 |
|||
|isbn=978-1-4612-9128-2 |
|||
|issn=0172-6056 |
|||
|doi=10.1007/978-1-4612-4716-6 |
|||
|zbl=0625.54001 |
|||
}}</ref>{{rp|104, Corollary 8.10}} |
|||
:<math>\operatorname{cl}A=\bigcap_{{\scriptstyle E\in\mathcal E\atop\scriptstyle E=E^{-1}}}\{y\in X\colon\exists x\in A\colon (x,y)\in E\}</math> |
|||
== 각주 == |
== 각주 == |
2020년 5월 23일 (토) 08:38 판
위상수학에서, 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.[1] 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다.[1] 의 폐포는 또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 또는 또는 와 같이 쓸 수도 있다.
정의
위상 공간 의 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 임의의 점 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 의 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.
위상 공간 의 부분 집합 의 폐포 는 의 모든 폐포점들의 집합이다.
성질
극한점과의 관계
위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 의 폐포점이다.
- 이거나, 는 의 극한점이다.
즉, 의 폐포는 와 그 유도 집합의 합집합이다.
닫힌집합과의 관계
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 닫힌집합이다.
반대로, 의 폐포는 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.
내부·경계와의 관계
위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
즉, 의 폐포는 의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 의 내부와 경계의 분리 합집합이다.
반대로, 의 경계는 와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.
항등식
위상 공간 의 부분 집합 및 집합족 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.
즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다.
반례:
예
이산 공간
이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.
비이산 공간
비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.
열린 공
의 폐포는 닫힌 공
이다. 그러나 이는 일반적인 거리 공간 위에서 성립하지 않는다.
반례:
균등 공간
(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 의 부분 집합 의 폐포는 다음과 같다.[2]:104, Corollary 8.10
각주
- ↑ 가 나 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
- ↑ James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001.
외부 링크
- “Closure of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Closure”. 《PlanetMath》 (영어).