대응 정리

군론이라는 수학의 분야에서, 대응 정리는 , 때때로 네 번째 동형 정리 또는 격자 정리라 불리는데, 이는 $N$이 군 $G$의 정규부분군이면, $N$을 포함하는 $G$의 모든 부분군 $A$의 집합에서 상군 $G/N$의 부분군 전체의 집합으로의 전단사함수가 존재함을 말한다. $G/N$의 부분군의 구조는 $N$을 포함하는 $G$의 부분군의 구조와 정확히 같다. $G/N$의 부분군의 구조는 정확히 $N$을 항등원으로 붕괴하는 $N$을 포함하는 $G$의 부분군의 구조와 같다.

구체적으로, 만일

G가 군이고,

N이 G의 정규부분군이며

${\mathcal {G}}$가 $N\subseteq A\subseteq G$를 만족하는 G의 모든 부분군 A의 집합이고

${\mathcal {N}}$이 G/N의 모든 부분군의 집합이면,

다음을 만족하는 전단사 사상 $\phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}$가 존재한다.

모든 $A\in {\mathcal {G}}$에 대하여 $\phi (A)=A/N$

더욱이 A와 B가 ${\mathcal {G}}$의 원소이고, A' = A/N, B' = B/N 일 때,

• $A\subseteq B$ 일 필요충분조건은 $A'\subseteq B'$;
• 만일 $A\subseteq B$ 이면 $|B:A|=|B':A'|$, 여기서 $|B:A|$ 는 B에서의 A의 지수이다. (B에서의 A의 잉여류 bA의 개수);
• $\langle A,B\rangle /N=\langle A',B'\rangle ,$ 여기서 $\langle A,B\rangle$는 $A\cup B$에 의하여 생성되는 $G$의 부분군
• $(A\cap B)/N=A'\cap B'$
• $A$가 $G$의 정규부분군일 필요충분조건은 $A'$이 $G/N$의 정규부분군인 것이다.

이 목록은 완전하지 않다. 사실, 부분군의 대다수의 성질은 상군의 부분군으로의 전단사 아래 그들의 상에서 보존된다.

더 일반적으로, $G$(반드시 $N$을 포함할 필요는 없다)와 $G/N$의 부분군 격자도 사이에는 단조 갈루아 연결 $(f^{*},f_{*})$가 존재한다.: $G$의 부분군 $H$의 하위 딸림은 $f^{*}(H)=HN/N$ 으로 주어지고 $G/N$의 부분군 $K/N$의 상위 딸림은 $f_{*}(K/N)=K$로 주어진다. $G$의 부분군에서 관련된 폐포 연산자는 ${\bar {H}}=HN$; $G/N$의 부분군에서 관련된 핵 연산자는 항등원이다.

유사한 결과가 환,가군, 벡터 공간, 체에서도 성립한다.

같이 보기

• 모듈러 격자