초타원 곡선

대수기하학에서, 초타원 곡선(超楕圓曲線, 영어: hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.

정의

체 $K$ 위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{:287, Definition 7.4.7}

• 크룰 차원이 1인 스킴 $C$
• 매끄러운 사상 $\phi \colon C\to \operatorname {Spec} K$. 또한, $\phi$가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, $C\otimes _{K}{\bar {K}}$은 기약 스킴이다.)
  • 이 조건에 따라서 $C$는 기약 스킴이자 축소 스킴이다.
• $K$ 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 $f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}$. (즉, 체의 확대 ${\mathcal {K}}(C)/K$는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 $\mathbb {P} _{K}^{1}$는 사영 직선이다.
  • 이 조건에 따라서 $\phi$는 유한형 사상이다.

특히, 만약 $K$가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.

• 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 $K$
• $K$ 위의, 차수 2의 유한 사상 $f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}$

분류

종수 $g$의 초타원 곡선 $(C,f)$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, $\mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} (x_{0},x_{1})$에서 아핀 좌표

$x=x_{1}/x_{0}$

${\tilde {x}}=x_{0}/x_{1}=1/x$

를 고르자. 그렇다면, 만약 $\operatorname {char} K\neq 2$인 경우, $f$는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

$\phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-P(x))$

${\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))$

${\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})$

$P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)$

$P\neq 0$

$\deg P\in \{2g+1,2g+2\}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

$y=x^{g+1}{\tilde {y}}$

${\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y$

즉, 다음과 같다.

${\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}$

표수가 2인 경우, $f$는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

$\phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-Q(x)y-P(x))$

${\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))$

${\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})$

$P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)$

${\tilde {Q}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{g+1}Q(1/{\tilde {x}})$

$Q(x)=x^{g+1}{\tilde {Q}}(1/x)$

$\{P,Q\}\neq \{0\}$

$\max\{\deg P,2\deg Q\}\in \{2g+1,2g+2\}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

$y=x^{g+1}{\tilde {y}}$

${\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y$

즉, 다음과 같다.

${\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}$

표수가 2가 아닌 경우, 항상

$y\mapsto y+Q(x)/2$

를 통해 $Q={\tilde {Q}}=0$으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

$\operatorname {char} K\neq 2$: $P\mapsto \lambda ^{2}P\qquad (\lambda \in K^{\times })$

$\operatorname {char} K=2$: $(P,Q)\mapsto (\lambda ^{2}P,\lambda Q)$, $(P,Q)\mapsto (P+f^{2}+Qf,Q)\qquad (f\in K[x],\;\deg f\leq g+1)$

즉, 이 경우 가중 사영 공간

$\mathbb {P} _{K}(1,g+1,1)=\mathbb {P} _{K}^{1}[s,t,u]$

속에서 부분 대수다양체

$t^{2}=Q(u/s)s^{g+1}t+P(u/s)s^{2g+2}$

를 이룬다. 이 경우 $f$는

$C\to \mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} K[s,u]$

$[s:t:u]\mapsto [s:u]$

이다.

분지점

표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 $C$는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 $\mathbb {P} _{K}^{1}$의 닫힌 점 $x\in \mathbb {P} _{K}^{1}$ 가운데, 올 $f^{-1}(x)$이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, $f^{-1}(x)$는 항상 두 개의 점으로 구성된다.) 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 $P$의 사영 공간에서의 근이다. 즉,

• $\deg P=2g+2$라면, 분지점은 $P$의 $2g+2$개의 근이다.
• $\deg P=2g+1$라면, 분지점은 $P$의 $2g+1$개의 근 및 $\infty$이다.

이는 가중 사영 공간에서 대합

$[s,t,u]\mapsto [s,-t,u]$

의 고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 $Q$의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

$[s,t,u]\mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]$

의 고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.

• 분지점의 수가 $r$라고 할 때, $|K|>r$이다.

이 경우, $\mathbb {P} _{K}^{1}\setminus \{\infty \}=\mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]$ 위에서 $f$는 다음과 같은 꼴이 된다.

$y^{2}=f(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{d}x^{d}$

$f\in K[x]$

모듈러스 공간

$K$가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 $g\geq 2$일 때, 초타원 곡선은 그 $2g+2$개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈러스 공간은

${\frac {\operatorname {Conf} _{0}(2g+2)}{\operatorname {Aut} (\mathbb {P} _{K}^{1})}}$

이다. 그 차원은

$2g+2-3=2g-1$

이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

$y^{2}=B(x,z)$

의 꼴로 표현되며, $B(x,z)$는 (종수 $g$의 경우) $2g+2$차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

외부 링크

• “Hyper-elliptic curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stoll, Michael (2014). “Arithmetic of hyperelliptic curves” (PDF) (영어).