정규화 부분군: 두 판 사이의 차이
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[[모노이드]] <math>M</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>의 '''정규화 부분 모노이드'''({{llang|en|normalizer submonoid}})는 다음과 같은, <Math>G</math>의 부분 집합이다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach|이름=Henri|성=Bourlès|이름2=Bogdan|성2=Marinescu|doi=10.1007/978-3-642-19727-7|날짜=2011|총서=Lecture Notes in Control and Information Sciences|issn=0170-8643|언어=en}}</ref>{{rp|30, Definition 1.68}}<ref>{{서적 인용|제목=Mathematical Foundations of Information Flow|장=Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory|이름=Karl H.|성=Hofmann|이름2=Michael|성2=Mislove|isbn= 978-0-8218-4923-1|언어=en}}</ref>{{rp|161, Definition 8.11}}<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|제목=Algèbre. Chapitres 1 à 3|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자고리=니콜라 부르바키|날짜=1970|출판사=Masson|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|총서=Éléments de mathématique|언어=fr}}</ref>{{rp|AI.54, §AI.5.3}} |
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:<math>\operatorname |
:<math>\operatorname N_M(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}</math> |
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이는 <math>M</math>의 [[부분 모노이드]]를 이룬다. |
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사실, 임의의 모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S</math>에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 [[부분 모노이드]]를 이룬다.<ref>{{저널 인용|제목=The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids|저널=Semigroup Forum|doi= 10.1007/BF02572939|성1=Heinrich Hofmann|이름1=K.|성2=Mislove|이름2=M.|권=3|쪽=31–42|issn=0037-1912|언어=en}}</ref>{{rp|4–5, Lemma 2.1}} |
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:<math>\operatorname{LN}_G(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}</math> |
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:<math>\operatorname{RN}_G(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}</math> |
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이들은 <math>\operatorname N_M(S)</math>를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 <math>M</math>이 [[군 (수학)|군]]이며 <math>S</math>가 [[부분군]]이더라도) 서로 다르다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.54}} |
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[[군 (수학)|군]]의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 [[부분군]]을 이루며, 이를 '''정규화 부분군'''이라고 한다. (그러나 <math>\operatorname{LN}_G(-)</math> 및 <math>\operatorname{RN}_G(-)</math>는 일반적으로 부분군이 아니다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.54}}) |
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== 성질 == |
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임의의 모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다. |
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[[중심화 부분군]]은 항상 정규화 부분군의 [[정규부분군]]이다. |
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:<math>\operatorname |
:<math>\operatorname N_M(S)=\operatorname{LN}_M(S)\cap\operatorname{RN}_M(S)</math> |
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[[부분군]] <math>H\le G</math>의 정규화 부분군은 <math>H</math>를 [[정규 부분군]]으로 포함한다. |
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[[중심화 부분 모노이드]]는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname C_M(S)\subseteq\operatorname N_M(S)</math> |
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=== 군 === |
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군의 경우 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname{LN}_G(S)=\left(\operatorname{RN}_G(S))^{-1}</math> |
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<math>H\subseteq G</math>가 [[부분군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname N_G(H)</math>는 <math>H</math>를 [[정규 부분군]]으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 [[부분군]] <math>K\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>H</math>가 <math>K</math>의 [[정규 부분군]]이라면, <math>K</math>는 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 [[부분군]]이다. |
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=== 환 === |
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[[환 (수학)|환]]의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 [[부분 모노이드]]이지만 일반적으로 [[부분환]]을 이루지 못한다. |
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[[나눗셈환]] <math>D</math>의 경우, 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname N_D(D)=D</math> |
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'''증명:''' |
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임의의 <math>a\in D</math>에 대하여 <math>aD=Da</math>임을 보이면 족하다. 우선, 만약 <math>a=0</math>이라면 이는 자명하다. 따라서 <math>a\ne0</math>이라고 가정하자. 그렇다면, |
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:<math>D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D</math> |
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이므로 <math>D=aDa^{-1}</math>이며 <math>Da=aD</math>이다. |
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== 예 == |
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만약 <math>M</math>이 [[가환 모노이드]]라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 <math>M</math> 전체이다. |
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[[한원소 집합]]의 정규화 부분 모노이드는 [[중심화 부분 모노이드]]와 같다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname N_M(\{m\})=\operatorname C_M(\{m\})</math> |
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[[공집합]]의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>에 대하여 다음이 성립한다. |
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== 같이 보기 == |
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:<math>\operatorname N_M(\varnothing)=M</math> |
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* [[중심화 부분군]] |
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임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname N_G(G)=G</math> |
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(그러나 이는 임의의 [[모노이드]]에 대하여 성립하지 못한다.) |
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==참고 문헌== |
== 참고 문헌 == |
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{{각주}} |
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*{{서적 인용 |last=Isaacs |first=I. Martin |title=Algebra: a graduate course |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |edition=reprint of the 1994 original |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |날짜=2009 |pages=xii+516 |isbn=978-0-8218-4799-2 |mr=2472787|언어=en}} |
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*{{서적 인용 |last=Jacobson |first=Nathan |날짜=2009 |title=Basic algebra |edition=2 |volume=1 |series= |publisher=Dover |isbn=978-0-486-47189-1|언어=en}} |
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== 바깥 고리 == |
== 바깥 고리 == |
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* {{eom|title=Normalizer of a subset}} |
* {{eom|title=Normalizer of a subset}} |
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* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/onesidednormalityofsubsemigroup|제목=One-sided normality of semigroup|웹사이트=PlanetMath|언어=en}} |
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[[분류:반군론]] |
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[[분류:군론]] |
[[분류:군론]] |
2017년 2월 27일 (월) 17:17 판
군론에서, 정규화 부분군(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저[*])은 어떤 부분군을 정규부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.
정의
모노이드 의 부분 집합 의 정규화 부분 모노이드(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은, 의 부분 집합이다.[1]:30, Definition 1.68[2]:161, Definition 8.11[3]:AI.54, §AI.5.3
이는 의 부분 모노이드를 이룬다.
사실, 임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.[4]:4–5, Lemma 2.1
이들은 를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 이 군이며 가 부분군이더라도) 서로 다르다.[3]:AI.54
군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나 및 는 일반적으로 부분군이 아니다.[3]:AI.54)
성질
임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.
중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.
군
군 의 부분 집합 의 중심화 부분군은 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.
군의 경우 다음이 성립한다.
- 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle \operatorname{LN}_G(S)=\left(\operatorname{RN}_G(S))^{-1}}
가 부분군이라고 하자. 그렇다면, 는 를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 에 대하여, 만약 가 의 정규 부분군이라면, 는 의 부분군이다.
환
환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.
나눗셈환 의 경우, 다음이 성립한다.
증명:
임의의 에 대하여 임을 보이면 족하다. 우선, 만약 이라면 이는 자명하다. 따라서 이라고 가정하자. 그렇다면,
이므로 이며 이다.
예
만약 이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 전체이다.
한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 의 원소 에 대하여, 다음이 성립한다.
공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 에 대하여 다음이 성립한다.
임의의 군 에 대하여, 다음이 성립한다.
(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)
참고 문헌
- ↑ Bourlès, Henri; Marinescu, Bogdan (2011). 《Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach》. Lecture Notes in Control and Information Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-642-19727-7. ISSN 0170-8643.
- ↑ Hofmann, Karl H.; Mislove, Michael. 〈Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory〉. 《Mathematical Foundations of Information Flow》 (영어). ISBN 978-0-8218-4923-1.
- ↑ 가 나 다 Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.
- ↑ Heinrich Hofmann, K.; Mislove, M. “The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids”. 《Semigroup Forum》 (영어) 3: 31–42. doi:10.1007/BF02572939. ISSN 0037-1912.
바깥 고리
- “Normalizer of a subset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “One-sided normality of semigroup”. 《PlanetMath》 (영어).