누적 위계

집합론에서, 누적 위계(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다.

정의

$Q$가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

$Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }X_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases}}\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )$

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)$

여기서 $\operatorname {Ord}$는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 $x\in Q^{\operatorname {Ord} }(X)$에 대하여,

$\min\{\alpha \colon x\in Q^{\alpha }\}$

를 $x$의 $Q^{\operatorname {Ord} }(X)$에서의 계수(영어: rank)라고 한다. (만약 $Q$가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

성질

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $V_{\alpha }$ 및 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$는 (심지어 $A_{i}$가 고유 모임이어도) 집합이다.

그러나 $V$ 및 $L$은 고유 모임이며, 집합이 아니다. 이를 칸토어 역설이라고 한다.

예

폰 노이만 전체

$Q={\mathcal {P}}$ (멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(\varnothing )$는 $V_{\alpha }$로 표기하며, $V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )$를 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 $V$는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 $S$의 계수 $\operatorname {rank} S$는 다음과 같은 순서수이다.

$\operatorname {rank} S=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon S\subset V_{\alpha }\}$

즉, $S$가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

$V$는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 $\omega$로 쓰면, $V_{\omega }$는 계승적 유한 집합(영어: hereditarily finite set, 다른 계승적 유한 집합만을 원소로 포함하는 유한 집합)들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. $\kappa$가 도달 불가능한 기수일 경우 $V_{\kappa }$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, $V_{\kappa +1}$은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 $V_{\kappa }$를 그로텐디크 전체라고 한다.

구성 가능 전체

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$Q=\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}$ (정의 가능 멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(X)$는 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$로 표기하며, $L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)$를 $X$-구성 가능 집합(영어: $X$-constructible universe)이라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$일 경우 $L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L$로 표기하며, $n=0$일 경우 흔히 $L(X)$로 표기한다.

이름

임의의 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

$Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)$

에 대한 누적 위계를 $X$-이름 위계(영어: hierarchy of $X$-names)라고 하며, $\operatorname {Name} _{X,\alpha }$로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

이 누적 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 $X$가 한원소 집합이라면 $Q$는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 위계와 동형이다.

만약 $X$가 공집합이라면 $\operatorname {Name} _{\varnothing }=\{\varnothing \}$이다.

$\operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여,

$\operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}$

이다.

임의의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여, $X$-이름의 해석

$\operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V$

은 다음과 같은 "함수"이다.

$\operatorname {val} _{S}(u)=\{\operatorname {val} _{S}(v)\colon \forall s\in S\colon (v,s)\in u\}$

즉, 다음과 같은 초한 점화식으로 정의된다.

$\operatorname {val} _{S,\alpha }\colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to V_{\alpha }\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )$

$\operatorname {val} _{S,\alpha }(u)={\begin{cases}\{\operatorname {val} _{S,\beta }(v)\colon \forall s\in S\colon (v,s)\in u\}&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\\{\operatorname {val} _{S,\beta }(v)\colon \forall s\in S\colon (v,s)\in u,\;v\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}$

여기서 $V_{\alpha }$는 폰 노이만 전체 $V$의 단계이다.

$\operatorname {val} _{S}(u)$는 "일반적 원소" $S$를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

역사

1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸^[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.^{:VIII, XI} (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.^{:279, §4.10} 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 $V$를 최초로 도입하였다.^{:36–40:270, §4.9}

참고 문헌

• Boolos, George. “The iterative conception of set”. 《The Journal of Philosophy》 (영어) 68 (8): 215–231. doi:10.2307/2025204. ISSN 0022-362X. JSTOR 2025204. 
• Forster, Thomas (2008년 6월). “The iterative conception of set”. 《The Review of Symbolic Logic》 (영어) 1 (1): 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064. 

바깥 고리

• “Cumulative hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Von Neumann hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Von Neumann hierarchy”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: Well-founded set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: rank (set theory)”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Set has rank”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Every set in von Neumann universe”. 《ProofWiki》 (영어).