정상 집합

집합론에서, 클럽 집합(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의

클럽 집합

극한 순서수 $\alpha$가 주어졌다고 하자. 부분 집합

$C\subseteq \alpha$

가 다음 두 조건을 만족시키면 $\alpha$-클럽 집합(영어: $\alpha$-club set)이라고 한다.

• 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 $0<\beta <\alpha$에 대하여, $\sup(C\cap \beta )=\beta$라면, $\beta \in C$이다.
• $\sup _{\operatorname {Ord} }C=\alpha$이다. 즉, 임의의 순서수 $\beta <\alpha$에 대하여, $\beta <\beta '\in C$가 존재한다.

정상 집합

임의의 기수 $\kappa$ 및 부분 집합 $S\subseteq \kappa$가 주어졌으며, $\kappa$의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 $S$와 임의의 $\kappa$-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, $S$를 정상 집합이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

클럽 집합은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 두 $\kappa$-클럽 집합 $C,C'\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $C\cap C'$ 역시 $\kappa$-클럽 집합이다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$와 $\kappa$-클럽 집합 $C\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $S\cap C$ 역시 정상 집합이다.

솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$

그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, $S$는 $\kappa$개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$
• 함수 $f\colon S\to \kappa$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 $0<\alpha \in S$에 대하여, $f(\alpha )<\alpha$

포도르 정리(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, $f|_{S'}=\alpha '$인 정상 부분 집합 $S'\subseteq S$와 순서수 $\alpha '<\kappa$가 존재한다.^{:Theorem 1.5}

말로 기수

$\kappa$-정상 집합들의 모임을 ${\mathfrak {S}}_{\kappa }$로 표기하자.

기수의 모임 $\operatorname {Card}$의 부분 모임 $P\subseteq \operatorname {Card}$에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$\kappa \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega$

이를 말로 연산(영어: Mahlo operation)이라고 한다.

만약 $P$가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\operatorname {Stat} (P)$의 원소를 말로 기수(영어: Mahlo cardinal)라고 한다. 마찬가지로, 만약 $P$가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\operatorname {Stat} (P)$의 원소를 약한 말로 기수(영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

다이아몬드 원리

기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$에 대하여, $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬(영어: $(\kappa ,S)$-diamond sequence) $A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $\alpha \in S$에 대하여, $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
• 임의의 $T\subseteq \kappa$에 대하여, $\{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A_{\alpha }\}$는 $\kappa$-정상 집합이다.

$(\kappa ,S)$-다이아몬드 원리(영어: $(\kappa ,S)$-diamond principle) $\diamondsuit _{\kappa }(S)$는 $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.

$\diamondsuit _{\omega _{1}}(\omega _{1})$은 흔히 다이아몬드 원리 $\diamondsuit$라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

$V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})$

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사

말로 기수의 개념은 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 1911년에 도입하였다.

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.^:§1.1

포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.

"클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: closed and unbounded)의 머리글자를 딴 것이다.

바깥 고리

• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Mahlo cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Club sets and stationary sets”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 
• “What is the idea behind stationary sets” (영어). Math Overflow.