모리타 동치

환론에서, 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의

모리타 동치

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $U_{R}$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 $(R,S,U,V,\phi ,\psi )$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $S=\hom _{R}(U_{R},U_{R})$
• ${}_{R}V=\hom _{R}(_{S}U_{R},_{R}R_{R})$
• $\phi \colon U\otimes _{R}V\to S$, $(u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))$
• $\psi \colon V\otimes _{S}U\to R$, $(v\otimes u)\mapsto v(u)$

$U_{R}$가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, $U_{R}$에 대응되는 모리타 문맥 $(R,S,U,V,\phi ,\chi )$에 대하여,

• $\otimes _{R}V_{S}\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon \otimes _{S}U_{R}$는 범주의 동치를 이룬다.
• $_{S}U\otimes _{R}\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \rightleftarrows {}_{S}\operatorname {Mod} _{S}\colon _{S}V\otimes _{R}$는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

$F\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon G$

가 주어졌을 때,

• $_{S}U_{R}=G(_{S}S_{S})$
• $_{R}V_{S}=F(_{R}R_{R})$

로 놓으면, $U_{R}$는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 $U_{R}$에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

$F\cong \otimes _{R}V$

$G\cong \otimes _{S}U$

또한, 임의의 두 환 $(R,S)$에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

• 가법 동치 $\operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}$의 (자연 동형에 대한) 동형류
• 다음 두 조건을 만족시키는 $(S,R)$-쌍가군 $_{S}U_{R}$들의 동형류
  • $U_{R}$는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상이다.
  • $_{S}U_{R}$는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 $R$, $S$ 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

$R\approx S$

로 표기한다.

모리타 쌍대성

쌍가군 $_{S}U_{R}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

$\hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\colon \operatorname {Mod} _{R}\to {}_{S}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }$

$\hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }$

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

$\hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\dashv \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)$

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

$M_{R}\to \hom _{S}\left(\hom _{R}(M_{R},_{S}U_{R}),_{S}U_{R}\right)$

이 동형 사상일 경우, $R$-오른쪽 가군 $M_{R}$를 $U$-반사 가군(영어: $U$-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 $S$-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 $\operatorname {Mod} _{R}[U]$ 및 $_{S}\operatorname {Mod} [U]$로 표기하자. 이 경우, $\operatorname {Mod} _{R}[U]$와 $_{S}\operatorname {Mod} [U]^{\operatorname {op} }$는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 충만한 부분 가법 범주 ${\mathcal {C}}$가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$에 대하여, $A,C\in {\mathcal {C}}$라면 $B\in {\mathcal {C}}$이다.

쌍가군 $_{S}U_{R}$에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

• $\operatorname {Mod} _{R}[U]$는 $\operatorname {Mod} _{R}$의 세르 부분 범주이며, $_{S}\operatorname {Mod} [U]$는 $_{S}\operatorname {Mod}$의 세르 부분 범주이며, $R_{R}\in \operatorname {Mod} _{R}[U]$이며, $_{S}S\in _{S}\operatorname {Mod} [U]$이다.
• $R_{R}$, $U_{R}$, $_{S}S$, $_{S}U$의 모든 몫가군은 $U$-반사 가군이다.
• $U_{R}$는 단사 가군이자 $\operatorname {Mod} _{R}$의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 $_{S}U$는 단사 가군이자 $_{S}\operatorname {Mod}$의 쌍대 생성 대상이며, 또한 $_{S}U_{R}$는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우, $U$가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 $U$-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 $U$ 및 $U'$에 대하여, $U$-반사 가군인지 여부는 $U'$-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 $U$에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예

모든 환 $R$ 및 양의 정수 $n$에 대하여, $R$는 $\operatorname {Mat} (n;R)$와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 $R$-자유 가군 $U=R^{\oplus n}$에 의하여 생성된다. 즉,

• $S=\operatorname {End} _{R}(R^{\oplus n})=\operatorname {Mat} (n;R)$
• $_{R}U_{S}=R^{\oplus n}$. 이는 행벡터(=$1\times n$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
• $_{S}V_{R}=R^{\oplus n}$. 이는 열벡터(=$n\times 1$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
• $\phi \colon _{R}U\otimes _{S}V_{R}\to {}_{R}R_{R}$는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
• $\psi \colon _{S}V\otimes _{R}U_{S}\to _{S}S_{S}$는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 $R$는 유한 개의 나눗셈환 $D_{1},\dots ,D_{k}$ 위의 행렬환 $\operatorname {Mat} (n_{i},D_{i})$들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

$R\cong \operatorname {Mat} (n_{1};D_{1})\times \cdots \times \operatorname {Mat} (n_{k};D_{k})\approx D_{1}\times \cdots \times D_{k}$

역사

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.

참고 문헌

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
• Schwede, Stefan (2004). 〈Morita theory in Abelian, derived and stable model categories〉. Baker, Andrew; Richter, Birgit. 《Structured ring spectra》. London Mathematical Society Lecture Notes (영어) 315. Cambridge University Press. 33–86쪽. arXiv:math/0310146. Bibcode:2003math.....10146S. ISBN 978-0-52160305-8. 
• Müller, Bruno J. (1984). 〈Morita duality — a survey〉. Göbel, R.; Metelli, C.; Orsatti, A.; Salce, L. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984》. International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures (영어) 287. Springer-Verlag. 395–414쪽. doi:10.1007/978-3-7091-2814-5_30. ISBN 978-3-211-81847-3. ISSN 0254-1971. 
• Phạm Ngọc Ánh (1985). 〈Morita duality, linear compactness and AB5: a survey〉. Facchini, Alberto; Menini, Claudia. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994》. Mathematics and Its Applications (영어) 343. Springer-Verlag. 17-28쪽. doi:10.1007/978-94-011-0443-2_2. ISBN 978-94-010-4198-0. 

바깥 고리

• “Morita equivalence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morita equivalence”. 《nLab》 (영어). 
• “Morita context”. 《nLab》 (영어). 
• “Derived Morita equivalence”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 2월 16일). “Morita equivalence and the bicategory of bimodules”. 《Annoying Precision》 (영어).