호지 구조

대수기하학에서, 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

정의

무게가 $n$인 순수 호지 구조 $(H,F^{\bullet })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 아벨 군 $H$
• 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 $H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

• $p+q=n+1$이라면, $F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}=\{0\}$, $F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C}$

순수 호지 구조 $(H,F^{\bullet })$에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

$H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}$

그렇다면 다음이 성립한다.

$H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}$

${\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}$

혼합 호지 구조 $(H,F^{\bullet },W_{\bullet })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 아벨 군 $H$
• $H\otimes \mathbb {C}$ 위의 유한 감소 여과 $H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{k}$. 이를 호지 여과(영어: Hodge filtration)라고 한다.
• 유한 증가 여과 $W_{0}\subseteq W_{1}\subseteq \cdots \subseteq W_{m}=H\otimes \mathbb {Q}$. 이를 무게 여과(영어: weight filtration)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• 모든 $n$에 대하여, $\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(W_{n}/W_{n-1})\otimes \mathbb {C}$ 위의 감소 여과 $F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )/(W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )$는 무게 $n$의 순수 호지 구조를 이룬다.

호지 구조의 연산

무게 $k$의 두 개의 순수 호지 구조 $H$, $H'$이 주어졌을 때, 직합 $H\oplus H'$ 역시 무게 $k$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 $k$의 순수 호지 구조 $H$와 무게 $k'$의 순수 호지 구조 $H'$이 주어졌을 때, 텐서곱 $H\otimes H'$은 무게 $kk'$의 순수 호지 구조를 이룬다.

예

임의의 아벨 군 $H$에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.

$H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$

$F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$

자유 아벨 군

$H=\mathbb {Z} x\oplus \mathbb {Z} y$

에 다음과 같이 무게 1의 호지 구조를 줄 수 있다.

$H^{0,1}=\mathbb {C} (ax+by)$

$H^{1,0}=\mathbb {C} ({\bar {a}}x+{\bar {b}}y)$

$a,b\in \mathbb {C} ,\;a/b\not \in \mathbb {R}$

즉, $[a:b]\in \mathbb {CP} ^{1}\setminus (\mathbb {R} \cup \{{\widehat {\infty }}\})=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$는 복소수 사영 직선 위의 동차좌표를 나타내며, 그 비는 실수가 되지 않아야만 한다.

콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지

콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) $X$의 복소수 계수 특이 코호몰로지 $H^{k}(X;\mathbb {C} )=H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C}$는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.

$H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n$

이는 무게 $n$의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합

$H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )$

은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는

$W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q}$

이며, 호지 여과는

$F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}$

이다.

복소수 대수다양체의 코호몰로지

복소수체 위의 모든 (완비하지 않거나 특이점을 가질 수 있는) 대수다양체의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다. 이는 피에르 들리뉴가 증명하였다.

테이트 호지 구조

테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure) $\mathbb {Z} (1)$은 다음과 같은 무게 −2의 1차원 순수 호지 구조이다.

• $H=2\pi i\mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$
• $H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}\cong \mathbb {C}$

모든 무게 −2의 1차원 순수 호지 구조는 이와 동형이다.

테이트 호지 구조 $\mathbb {Z} (1)$의 $n$차 텐서곱은 $\mathbb {Z} (n)$이라고 하며, 무게 $-2n$의 1차원 순수 호지 구조이다.

참고 문헌

• Peters, Christiaan; Steenbrink, Joseph H. M. (2008). 《Mixed Hodge structures》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 52. Springer. doi:10.1007/978-3-540-77017-6. ISBN 978-3-540-77015-2. 
• Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan. 〈An introduction to Hodge structures〉. 《Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics》. Fields Institute Communications. Springer. arXiv:1412.8499. ISSN 1069-5265. 

바깥 고리

• “Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Variation of Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hodge structure”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 호지 이론
• 호지 추측
• 모티브 (수학)