표준부분함수

비표준 해석학에서 표준부분함수는 유한인 초실수에서, 가장 가까운 실수로의 함수이다. 유한인 초실수는 항상 그러한 실수를 유일하게 가진다. 그렇게 함으로써 피에르 드 페르마에 의해 도입되었던 점근성의 개념을 구현할 수 있다.

표준부분함수는 최초에 아브라함 로빈슨에 의하여 처음 정의되었으며, 초실수 $x$에 대하여 ${}^{\circ }x$라는 표기법으로 나타내었다. 비표준 해석학에서는 이 개념이 미적분학에서 미분과 적분등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 무한소 이론으로 발전한다. x의 표준 부분을 x의 그림자라고 부르기도 한다.

정의

표준부분함수는 유한인 초실수를 가장 가까운 실수로 보낸다. 무한소의 현미경으로 표준 실수의 무한소-이웃들을 볼 수 있다.

비표준 해석학은 기본적으로 $\mathbb {R} \subset {}^{\ast }\mathbb {R}$을 다루는데, 초실수 ${}^{\ast }\mathbb {R}$은 실수 $\mathbb {R}$의 순서체 확장이며, 실수 외에도 무한소를 포함한다. 초실수직선에서 모든 실수들은 그와 한없이 가까운 수들의 모임인 모나드 또는 할로를 가진다.

표준부분함수는 유한인 초실수 x를 그것에 한없이 가까운 유일한 표준 실수 x₀로 대응시킨다. 이 관계를 아래와 같이 쓴다.

$\,\mathrm {st} (x)=x_{0}.$

모든 무한소의 표준부분은 0이다. 그러므로 N이 무한인 초정수일 때, 1/N은 무한소이므로, st(1/N) = 0이다.

초실수 $u$가 $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$인 코시 수열에 의한 초승 구성(ultrapower construction)으로 표현되면, ${\text{st}}(u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}$이다.

같이 보기

• 초실수