하세-베유 제타 함수

수학에서, 하세-베유 제타 함수(영어: Hasse–Weil zeta function)는 주어진 대수다양체의 일부 성질들을 나타내는 L-함수의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다.

정의

$V/\mathbb {Q}$가 유리수체에 대한 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 모든 소수 $p$에 대하여 $V/\mathbb {F} _{p}$를 정의할 수 있다. 그렇다면 $V$의 하세-베유 제타 함수 $Z_{V,\mathbb {Q} }(s)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {CP} ^{1}$를

$Z(V/\mathbb {Q} ,s)=\prod _{p}\zeta (V/\mathbb {F} _{p};p^{-s})$

을 국소 제타 함수(영어: local zeta function) $\zeta (V/\mathbb {F} _{p};p^{-s})$들의 곱으로 정의할 수 있다. 이 정의는 유한 개의 $p^{-s}$들의 유리함수에 대하여 약간의 모호함을 가지지만, 이 함수의 성질은 이 모호함에 크게 의존하지 않는다.

이 모호함을 해소하려면 에탈 코호몰로지를 사용하여야 한다.

하세-베유 L-함수

하세-베유 제타 함수의 특수한 경우로, 타원곡선의 하세-베유 L-함수(영어: Hasse–Weil L-function)가 있다. 유리수체에 대한 타원곡선 $E/\mathbb {Q}$의 하세-베유 L-함수 $L(s,E)$는 다음과 같다.

$L(E;s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{Z(E_{n}/\mathbb {F} _{p},s)}}$

여기서 $\zeta (s)$는 리만 제타 함수이다.

하세-베유 추측

하세-베유 추측(영어: Hasse–Weil conjecture)에 따르면, 하세-베유 제타 함수는 복소평면 전체에서 유리형함수로 해석적 연속이 가능해야 한다. 타원곡선의 경우는 모듈러성 정리에 따라 이미 증명되었다.

참고 문헌

• Silverman, Joseph H. (2009). 《The Arithmetic of Elliptic Curves》. Graduate Texts in Mathematics 106 2판. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Koblitz, Neal (1993). 《Introduction to elliptic curves and modular forms》. Graduate Texts in Mathematics 97 2판. doi:10.1007/978-1-4612-0909-6. ISBN 978-1-4612-6942-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0804.11039.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)