하세-베유 제타 함수

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수학에서, 하세-베유 제타 함수(영어: Hasse–Weil zeta function)는 주어진 대수다양체의 일부 성질들을 나타내는 L-함수의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다.

정의[편집]

V/\mathbb Q가 유리수체에 대한 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 모든 소수 p에 대하여 V/\mathbb F_p를 정의할 수 있다. 그렇다면 V의 하세-베유 제타 함수 Z_{V,\mathbb Q}(s)\colon\mathbb C\to\mathbb{CP}^1

Z(V/\mathbb Q,s)=\prod_p\zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})

국소 제타 함수(영어: local zeta function) \zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})들의 곱으로 정의할 수 있다. 이 정의는 유한 개의 p^{-s}들의 유리함수에 대하여 약간의 모호함을 가지지만, 이 함수의 성질은 이 모호함에 크게 의존하지 않는다.

이 모호함을 해소하려면 에탈 코호몰로지를 사용하여야 한다.

하세-베유 L-함수[편집]

하세-베유 제타 함수의 특수한 경우로, 타원곡선의 하세-베유 L-함수(영어: Hasse–Weil L-function)가 있다. 유리수체에 대한 타원곡선 E/\mathbb Q하세-베유 L-함수 L(s,E)는 다음과 같다.

L(E;s)=
\frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{Z(E_n/\mathbb F_p,s)}

여기서 \zeta(s)리만 제타 함수이다.

하세-베유 추측[편집]

하세-베유 추측(영어: Hasse–Weil conjecture)에 따르면, 하세-베유 제타 함수는 복소평면 전체에서 유리형함수해석적 연속이 가능해야 한다. 타원곡선의 경우는 모듈러성 정리에 따라 이미 증명되었다.

참고 문헌[편집]