모듈러성 정리

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수학에서, 모듈러성 정리(영어: modularity theorem) 또는 다니야마-시무라-베유 추측(영어: Taniyama–Shimura-Weil conjecture)은 타원곡선과 고전 모듈러 곡선의 관계에 대한 정리다.[1]

역사[편집]

다니야마 유타카가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 추측하였다. 그 뒤 다니야마와 시무라 고로는 이 추측을 계속 연구하여, 1957년 올바른 형태의 추측을 발표하였다. 1967년 앙드레 베유가 독자적으로 이 추측을 발견하였고,[2] 이 추측은 "다니야먀-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다.

1986년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있을 수 있다고 추측하면서,[3] 이 추측이 주목받기 시작했다.

1995년 앤드루 와일스리처드 로런스 테일러가 준안정(semistable) 타원곡선에 대하여 모듈러성 정리를 증명하였다.[4][5] 이를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다. 와일스의 증명을 기반으로 하여, 프레드 다이아몬드(영어: Fred Diamond), 크리스토프 브뢰이(프랑스어: Christophe Breuil), 브라이언 콘래드(영어: Brian Conrad), 리처드 로런스 테일러가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.[6][7][8][9]

전개[편집]

모듈러성 정리는 다음과 같다.

모든 유리 타원곡선모듈러 곡선 X_0(N)의 정수 계수 유리함수로의 상으로 나타낼 수 있다.

여기서 X_0(N)합동 부분군 \Gamma_0(N)에 대한 콤팩트 모듈러 곡선이고, N은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다.

모듈러성 정리는 해석학적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 유리 타원곡선 E/\mathbb Q하세-베유 L-함수

L(s,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n/n^s

가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 생성함수를 정의할 수 있다.

f(\tau,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n\exp(2\pi in\tau)

그렇다면, 모듈러성 정리에 따라서 f는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 N모듈러 형식이다. 또한, 이 모듈러 형식은 모든 헤케 연산자에 대한 고유형식이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Diamond, Fred, Jerry Shurman (2005년). 《A first course in modular forms》, Graduate Texts in Mathematics 228, ISSN 0072-5285. Springer. doi 10.1007/b138781. Zbl 1062.11022. ISBN 978-0-387-23229-4
  2. Weil, André (1967). “Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 168: 149–156. doi:10.1007/BF01361551. ISSN 0025-5831. MR 0207658. 
  3. Frey, Gerhard (1986). “Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations”. 《Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae》 1 (1): iv+40. ISSN 0933-8268. MR 853387. 
  4. Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's last theorem”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 443–551. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. MR 1333035. 
  5. Andrew Wiles; Andrew Wiles (1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. MR 1333036. 
  6. Diamond, Fred (1996). “On deformation rings and Hecke rings”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 144 (1): 137–166. doi:10.2307/2118586. ISSN 0003-486X. MR 1405946. 
  7. Fred Diamond, Richard Taylor; Fred Diamond, Richard Taylor (1999). “Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 12 (2): 521–567. doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8. ISSN 0894-0347. MR 1639612. 
  8. Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor; Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor (2001). “On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. ISSN 0894-0347. MR 1839918. 
  9. Darmon, Henri (1999). “A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (11): 1397–1401. ISSN 0002-9920. MR 1723249. 

바깥 고리[편집]