사유한군

수학에서, 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의

사유한군은 하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다.

이 조건은 이 위상군이 이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다.

예

• 모든 이산 유한군은 사유한군이다.
• p진 정수 $\mathbb {Z} _{p}$는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 $\mathbb {Z} /p^{n}$들의 사영극한으로 정의된다.
• 사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L/K$가 주어지면 $K$를 고정시키는 체 자기동형사상들의 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 $F/K$들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.
• 대수기하학의 에탈 기본군 (étale fundamental group)은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

성질

• (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱(direct product)은 사유한군이다.
• 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
• 사유한군의 부분군이 열린 부분집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌 부분집합이라는 것이다.

참고 문헌

• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). 《Field arithmetic》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 11 3 revis판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001. 
• Nikolov, Nikolay; Dan Segal (2006). “On finitely generated profinite groups. I. strong completeness and uniform bounds”. arXiv:math/0604399. 
• Nikolov, Nikolay; Dan Segal (2006). “On finitely generated profinite groups. II. products in quasisimple groups”. arXiv:math/0604400. 
• Serre, Jean-Pierre. 《Cohomologie galoisienne》. Lecture Notes in Mathematics 5 5판. Springer. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.