모듈러 군

수학에서, 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 $S$, $T$로 주어진다. 기호는 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ 또는 $\Gamma$.

정의

모듈러 군 $\Gamma$는 다음과 같이 표시(presentation)되는 군이다.

$\Gamma =\langle S,T|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle$.

즉, 이는 순환군 $Z_{2}$와 $Z_{3}$의 자유 곱(free product)이다.

$\Gamma =Z_{2}*Z_{3}$.

이 군의 생성원 $S$, $T$는 다음과 같은 유리함수로 나타낼 수 있다.

$S\colon z\mapsto -1/z$

$T\colon z\mapsto z+1$.

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같은 꼴이다.

$z\mapsto {\frac {a+bz}{c+dz}}$. ($a,b,c,d\in \mathbb {Z}$; $ad-bc=1$)

모듈러 군의 부분군

모듈러 군 $\Gamma$는 주합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다. $N\geq 2$가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 $N$에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형사상이 존재한다.

$\Gamma =\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )\to \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$

이 군 준동형사상의 핵을 레벨 N의 주합동 부분군 $\Gamma (N)$이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

$1\to \Gamma (N)\hookrightarrow \Gamma \twoheadrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1$

구체적으로, $\Gamma (N)$은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

에 대하여,

$a\cong d\cong \pm 1{\pmod {N}}$

$b\cong c\cong 0{\pmod {N}}$

특히, $\Gamma (2)=\Lambda \equiv S_{3}$는 Λ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이는 대칭군 $S_{3}$와 동형이다.

참고 문헌

• Apostol, Tom M. (1990). 《Modular functions and Dirichlet series in number theory》. Graduate Texts in Mathematics 41 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0999-7. ISBN 978-0-387-97127-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0697.10023.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

• Panchishkin, A.A. (2001). “Modular group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Gamma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Lambda”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Gamma_0”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “모듈라 군(modular group)”.