K3 곡면: 두 판 사이의 차이

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2013년 3월 29일 (금) 18:25 판

대수기하학과 미분기하학에서, K3 곡면(K3 surface)은 원환면이 아니고, 정준 다발이 자명하고, 호지 수 $h^{0,1}=0$ 인 2차원 완전 곡면이다. 복소수체가 아닌 다른 체에 대해서도 K3 곡면을 정의할 수 있다.

역사와 어원

앙드레 베유가 1958년에 명명하였다.^[1]^:546 베유는 "K3"라는 이름을 다음과 같이 설명하였다.

보고서 제2부에서는 이런 켈러 다양체를 "K3"라고 부르겠다. 이는 쿠머와 켈러, 고다이라와 카슈미르의 아름다운 K2 산을 기리기 위한 것이다.
Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

여기서 에른스트 쿠머와 에리히 켈러, 고다이라 구니히코는 모두 이름의 머릿글자가 "K"인 세 명의 유명한 대수기하학자들이다.

성질

복소수체에서, 모든 K3 곡면은 서로 미분동형이다. 즉, 복소 K3 곡면은 미분기하학적으로 유일하나, 대수기하학적으로는 유일하지 않다.

복소 K3 곡면은 칼라비-야우 다양체이며,^[2] 원환면이 아닌 유일한 복소 2차원 (실수 4차원) 컴팩트 칼라비-야우 다양체이다. SU(2)=USp(2)이므로, K3 곡면은 초켈러 다양체이다. K3 곡면은 고다이라 차원이 0이며, 그 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

응용

K3 곡면은 비교적 다루기 쉬운 칼라비-야우 다양체이므로, 끈 이론을 축소화할 때 쓰인다.^[3]

참고 문헌

↑ Weil, André (1958). 〈Final report on contract AF 18(603)-57〉. 《Scientific works. Collected papers》 II. Berlin, New York: Springer-Verlag. 390–395, 545–547쪽. ISBN 978-0-387-90330-9. MR 537935. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 13) (도움말)
↑ Siu, Y. T. (1983). “Every K3 surface is Kähler”. 《Inventiones Mathematicae》 73 (1): 139–150. doi:10.1007/BF01393829. MR707352. 틀:Zbl. Bibcode: 1983InMat..73..139S. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 13) (도움말)
↑ Aspinwall, Paul S. (1996). “K3 Surfaces and String Duality”. arXiv:hep-th/9611137. Bibcode: 1996hep.th...11137A.

Gritsenko, V.; K. Hulek, G.K. Sankaran (2011). “Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds”. arXiv:1012.4155. Bibcode: 2010arXiv1012.4155G.
Laza, Radu; Matthias Schütt, Noriko Yui (2013년 5월). 《Arithmetic and Geometry of K3 Surfaces and Calabi–Yau Threefolds》. Fields Institute Communications 67. Springer. ISBN 978-1-4614-6402-0.

[1] Weil, André (1958). 〈Final report on contract AF 18(603)-57〉. 《Scientific works. Collected papers》 II. Berlin, New York: Springer-Verlag. 390–395, 545–547쪽. ISBN 978-0-387-90330-9. MR 537935. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 13) (도움말)

[2] Siu, Y. T. (1983). “Every K3 surface is Kähler”. 《Inventiones Mathematicae》 73 (1): 139–150. doi:10.1007/BF01393829. MR707352. 틀:Zbl. Bibcode: 1983InMat..73..139S. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 13) (도움말)

[3] Aspinwall, Paul S. (1996). “K3 Surfaces and String Duality”. arXiv:hep-th/9611137. Bibcode: 1996hep.th...11137A.

[1]

[2]

[3]

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+== 응용 ==
+K3 곡면은 비교적 다루기 쉬운 [[칼라비-야우 다양체]]이므로, [[끈 이론]]을 [[축소화]]할 때 쓰인다.<ref>{{저널 인용|제목=K3 Surfaces and String Duality|이름=Paul S.|성=Aspinwall|id={{arXiv|hep-th/9611137}}. {{bibcode|1996hep.th...11137A}}|날짜=1996}}</ref>
 == 참고 문헌 ==
 {{주석}}
 * {{저널 인용|id={{arxiv|1012.4155}}. {{bibcode|2010arXiv1012.4155G}}|이름=V.|성=Gritsenko|공저자=K. Hulek, G.K. Sankaran|날짜=2011|제목={{lang|en|Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds}}|언어고리=en}}
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 [[분류:미분기하학]]