힐베르트 기저 정리
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가환대수학에서 힐베르트 기저 정리(Hilbert基底定理, 영어: Hilbert’s basis theorem, 독일어: Hilberter Basissatz 힐베르터 바지스자츠[*])는 뇌터 환을 계수로 하는 다항식환은 뇌터 환이라는 정리이다. 대수기하학에서, 이는 모든 아핀 대수 집합을 유한개의 대수 방정식들로 정의할 수 있음을 의미한다.
정의
[편집]가 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환이라고 하고, 이 를 계수로 하는, 개의 부정원(不定元)에 대한 다항식환이라고 하자. 힐베르트 기저 정리에 따르면, 만약 가 뇌터 환이라면, 역시 뇌터 환이다.
응용
[편집]힐베르트 기저 정리는 대수기하학에서 핵심적인 역할을 한다. 가 체라고 하자. 그렇다면 에 대한 차원 아핀 공간의 좌표환은 이다.
모든 체는 자명하게 뇌터 환이므로, 힐베르트 기저 정리에 따라서 아핀 공간의 좌표환 역시 뇌터 환을 이룬다. 아핀 대수 집합은 좌표환 의 아이디얼로 정의되는데, 뇌터 환에서는 모든 아이디얼이 유한생성되므로, 따라서 모든 아핀 대수 집합 는 유한개의 다항식들 이 모두 0이 되는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
힐베르트 기저 정리는 보통 귀류법으로 증명하기 때문에, 기저 정리로만은 이 들을 계산할 수 없으며, 이들을 계산하려면 그뢰브너 기저를 사용할 수 있다.
역사
[편집]다비트 힐베르트가 1890년에 가 체인 경우를 증명하였다.[1]
참고 문헌
[편집]- ↑ Hilbert, David (1890). “Ueber die Theorie der algebraischen Formen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 36 (4): 473–534. doi:10.1007/BF01208503. ISSN 0025-5831.
외부 링크
[편집]- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert basis theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Hilbert's Basis Theorem”. 《ProofWiki》 (영어).