군론 에서 프로베니우스 군 (Frobenius群, 영어 : Frobenius group )은 어떤 두 부분군의 반직접곱 으로 나타내어지고, 군 표현론 이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 유한군 이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
S
{\displaystyle S}
작용 을 갖는다면,
G
{\displaystyle G}
프로베니우스 군 이라고 한다.
S
{\displaystyle S}
추이적 작용 이다.임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
≠
1
{\displaystyle g\neq 1}
|
{
s
∈
S
:
g
s
=
s
}
|
≤
1
{\displaystyle |\{s\in S\colon gs=s\}|\leq 1}
g
s
=
s
{\displaystyle gs=s}
g
≠
1
{\displaystyle g\neq 1}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
프로베니우스 군
G
{\displaystyle G}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
안정자군
S
x
{\displaystyle S_{x}}
G
{\displaystyle G}
프로베니우스 여군 (-餘群, 영어 : Frobenius complement )
H
≤
G
{\displaystyle H\leq G}
H
≤
G
{\displaystyle H\leq G}
프로베니우스 핵 (-核, 영어 : Frobenius kernel )
K
⊲
_
G
{\displaystyle K{\underline {\vartriangleleft }}G}
정규 부분군 이다. (이러한 부분 집합은 항상 정규 부분군 을 이룸을 보일 수 있다.)
K
=
{
1
}
∪
(
G
∖
⋃
g
∈
G
g
H
g
−
1
)
{\displaystyle K=\{1\}\cup \left(G\setminus \bigcup _{g\in G}gHg^{-1}\right)}
프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라,
G
{\displaystyle G}
반직접곱 이다.
G
=
K
⋊
H
{\displaystyle G=K\rtimes H}
주어진 유한군
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
동형 이다.
프로베니우스 군
G
{\displaystyle G}
K
{\displaystyle K}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
멱영군 이다.만약
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
아벨 군 이다.
H
{\displaystyle H}
A
≤
H
{\displaystyle A\leq H}
A
{\displaystyle A}
소수 의 곱이라면,
A
{\displaystyle A}
순환군 이다.프로베니우스 군
G
{\displaystyle G}
K
{\displaystyle K}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
기약 표현 들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.
H
{\displaystyle H}
ρ
:
H
→
GL
(
V
)
{\displaystyle \rho \colon H\to \operatorname {GL} (V)}
q
:
G
→
G
/
K
≅
H
{\displaystyle q\colon G\to G/K\cong H}
ρ
∘
q
:
G
→
GL
(
V
)
{\displaystyle \rho \circ q\colon G\to \operatorname {GL} (V)}
G
{\displaystyle G}
K
{\displaystyle K}
ρ
:
K
→
GL
(
V
)
{\displaystyle \rho \colon K\to \operatorname {GL} (V)}
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
{\displaystyle \rho }
유도 표현 역시
G
{\displaystyle G}
대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.
군
군의 크기
작용하는 집합의 크기
프로베니우스 핵
프로베니우스 여군
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}
6
3
Cyc
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
Dih
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (2n+1)}
4
n
+
2
{\displaystyle 4n+2}
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
Cyc
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
IGL
1
(
F
p
n
)
{\displaystyle \operatorname {IGL} _{1}(\mathbb {F} _{p^{n}})}
(
p
n
−
1
)
p
n
{\displaystyle (p^{n}-1)p^{n}}
p
n
{\displaystyle p^{n}}
F
p
n
≅
Cyc
(
p
)
⊕
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\cong \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus n}}
F
p
n
×
≅
Cyc
(
p
n
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (p^{n}-1)}
K
⋊
ϕ
(
Z
/
2
)
,
ϕ
(
1
)
:
k
↦
−
k
{\displaystyle K\rtimes _{\phi }(\mathbb {Z} /2),\;\phi (1)\colon k\mapsto -k}
K
{\displaystyle K}
2
|
K
|
{\displaystyle 2|K|}
|
K
|
{\displaystyle |K|}
K
{\displaystyle K}
Z
/
2
=
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /2=\operatorname {Cyc} (2)}
페르디난트 게오르크 프로베니우스 가 도입하였다.
