푸르만 원
기하학 에서, 푸르만 원 (영어 : Fuhrmann circle )은 삼각형 의 수심 과 나겔 점 을 잇는 선분을 지름 으로 하는 원 이다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외접원 의 호
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
,
A
B
{\displaystyle AB}
의 중점을 각각
F
A
′
{\displaystyle F_{A}'}
,
F
B
′
{\displaystyle F_{B}'}
,
F
C
′
{\displaystyle F_{C}'}
라고 하자. 직선
B
C
{\displaystyle BC}
에 대한
F
A
′
{\displaystyle F_{A}'}
의 반사 상을
F
A
{\displaystyle F_{A}}
, 직선
C
A
{\displaystyle CA}
에 대한
F
B
′
{\displaystyle F_{B}'}
의 반사상을
F
B
{\displaystyle F_{B}}
, 직선
A
B
{\displaystyle AB}
에 대한
F
C
′
{\displaystyle F_{C}'}
의 반사상을
F
C
{\displaystyle F_{C}}
라고 하자. 그렇다면 삼각형
F
A
F
B
F
C
{\displaystyle F_{A}F_{B}F_{C}}
를 원래 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 푸르만 삼각형 (영어 : Fuhrmann triangle )이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 푸르만 원 이라고 한다.
푸르만 원은 수심 과 나겔 점 을 잇는 선분을 지름으로 한다.[1] :50, §6 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 수심을
H
{\displaystyle H}
, 나겔 점을
X
8
{\displaystyle X_{8}}
이라고 하자. 그렇다면
F
A
F
A
′
{\displaystyle F_{A}F_{A}'}
은 선분
B
C
{\displaystyle BC}
의 수직 이등분선이므로, 선분
B
C
{\displaystyle BC}
의 중점
M
A
{\displaystyle M_{A}}
와 외심
O
{\displaystyle O}
를 지난다. 특히
O
{\displaystyle O}
에 대한
F
A
′
{\displaystyle F_{A}'}
의 반사상을
F
A
″
{\displaystyle F_{A}''}
이라고 할 경우 선분
F
A
′
F
A
″
{\displaystyle F_{A}'F_{A}''}
은 외접원의 지름이다.
A
H
{\displaystyle AH}
와
F
A
″
F
A
{\displaystyle F_{A}''F_{A}}
는 모두
B
C
{\displaystyle BC}
의 수선이므로 평행한다. 또한
A
H
=
2
O
M
A
=
2
O
F
A
′
−
2
M
A
F
A
′
=
F
A
″
F
A
′
−
F
A
F
A
′
=
F
A
″
F
A
{\displaystyle {\begin{aligned}AH&=2OM_{A}\\&=2OF_{A}'-2M_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}'-F_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}\end{aligned}}}
이므로 선분
H
F
A
{\displaystyle HF_{A}}
는 선분
A
F
A
″
{\displaystyle AF_{A}''}
의 평행 이동 상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 반중점 삼각형
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
의
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
에 대한 꼭짓점을
A
′
{\displaystyle A'}
,
B
′
{\displaystyle B'}
,
C
′
{\displaystyle C'}
이라고 하자. 그렇다면
X
8
{\displaystyle X_{8}}
은 삼각형
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
의 내심 이며, 특히
A
′
X
8
{\displaystyle A'X_{8}}
은 삼각형
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
의 내각 이등분선이다.
A
F
A
′
{\displaystyle AF_{A}'}
역시 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 내각 이등분선이므로,
A
′
X
8
{\displaystyle A'X_{8}}
과
A
F
A
′
{\displaystyle AF_{A}'}
은 평행한다.
M
A
{\displaystyle M_{A}}
는 선분
A
A
′
{\displaystyle AA'}
과
F
A
F
A
′
{\displaystyle F_{A}F_{A}'}
의 공통 중점이므로, 선분
A
F
A
′
{\displaystyle AF_{A}'}
과
A
′
F
A
{\displaystyle A'F_{A}}
는 서로
M
A
{\displaystyle M_{A}}
에 대한 반사 상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서,
A
′
{\displaystyle A'}
,
X
8
{\displaystyle X_{8}}
,
F
A
{\displaystyle F_{A}}
는 공선점 이며,
X
8
F
A
{\displaystyle X_{8}F_{A}}
와
A
F
A
′
{\displaystyle AF_{A}'}
은 평행한다.
선분
F
A
′
F
A
″
{\displaystyle F_{A}'F_{A}''}
은 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외접원의 지름이므로,
A
F
A
′
{\displaystyle AF_{A}'}
과
A
F
A
″
{\displaystyle AF_{A}''}
은 서로 수직이다. 따라서
X
8
F
A
{\displaystyle X_{8}F_{A}}
와
H
F
A
{\displaystyle HF_{A}}
역시 서로 수직이며,
F
A
{\displaystyle F_{A}}
는 선분
H
X
8
{\displaystyle HX_{8}}
를 지름으로 하는 원 위의 점이다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 세 변의 길이를
a
=
B
C
{\displaystyle a=BC}
,
b
=
A
C
{\displaystyle b=AC}
,
c
=
A
B
{\displaystyle c=AB}
라고 하고, 외접원의 반지름을
R
{\displaystyle R}
라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은
R
a
3
+
b
3
+
c
3
−
(
a
2
b
+
a
2
c
+
a
b
2
+
b
2
c
+
a
c
2
+
b
c
2
)
+
3
a
b
c
a
b
c
{\displaystyle R{\sqrt {\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc}{abc}}}}
이다.[2] :148, §11.17
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 내접원 의 반지름을
r
{\displaystyle r}
라고 하고, 각 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을
P
{\displaystyle P}
,
Q
{\displaystyle Q}
,
R
{\displaystyle R}
라고 하자. 그렇다면
A
P
=
B
Q
=
C
R
=
2
r
{\displaystyle AP=BQ=CR=2r}
이다.[1] :52, §6
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 세 변의 길이를
a
=
B
C
{\displaystyle a=BC}
,
b
=
A
C
{\displaystyle b=AC}
,
c
=
A
B
{\displaystyle c=AB}
라고 하고, 외심 을
O
{\displaystyle O}
, 내심 을
I
{\displaystyle I}
라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는
F
B
F
C
=
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
b
c
O
I
=
a
(
a
3
+
b
3
+
c
3
−
(
a
2
b
+
a
2
c
+
a
b
2
+
b
2
c
+
a
c
2
+
b
c
2
)
+
3
a
b
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle F_{B}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}OI={\sqrt {\frac {a(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(a-b+c)(a+b-c)}}}}
F
A
F
C
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
a
c
O
I
=
b
(
a
3
+
b
3
+
c
3
−
(
a
2
b
+
a
2
c
+
a
b
2
+
b
2
c
+
a
c
2
+
b
c
2
)
+
3
a
b
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle F_{A}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a-b+c)}{ac}}}OI={\sqrt {\frac {b(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a+b-c)}}}}
F
A
F
B
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
a
b
O
I
=
c
(
a
3
+
b
3
+
c
3
−
(
a
2
b
+
a
2
c
+
a
b
2
+
b
2
c
+
a
c
2
+
b
c
2
)
+
3
a
b
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle F_{A}F_{B}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}}OI={\sqrt {\frac {c(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a-b+c)}}}}
이다.[2] :255, §19.15
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 내심을
I
{\displaystyle I}
, 외심을
O
{\displaystyle O}
, 수심 을
H
{\displaystyle H}
, 나겔 점 을
X
8
{\displaystyle X_{8}}
, 푸르만 원의 중심을
X
355
{\displaystyle X_{355}}
라고 하자. 그렇다면 사각형
O
I
X
355
X
8
{\displaystyle OIX_{355}X_{8}}
과 사각형
O
I
H
X
355
{\displaystyle OIHX_{355}}
는 모두 평행 사변형 이며, 그 무게 중심 은 각각 슈피커 중심 및 구점원 의 중심이다.[2] :255, §19.15 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외접원과 내접원의 반지름을
R
{\displaystyle R}
와
r
{\displaystyle r}
라고 하자. 그렇다면 내심
I
{\displaystyle I}
와 푸르만 원의 중심
X
355
{\displaystyle X_{355}}
사이의 거리는 다음과 같다.[2] :255, §19.15
I
X
355
=
2
N
I
=
R
−
2
r
{\displaystyle IX_{355}=2NI=R-2r}
여기서
N
{\displaystyle N}
은 구점원의 중심이다.