우선
![{\displaystyle b>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00)
![{\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y-y_{0}|\leq b\}\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2724aa8d8a9ae2df616679c6f8e78dccfc2a1278)
![{\displaystyle M=\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990e1c91aa7f29d6f6650d72283e968222739d65)
![{\displaystyle \delta =\min \left\{a,{\frac {b}{M}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b54bb9860485039a1bd84333e7ae26b1441688)
라고 하자. 연속 함수
들의 상한 노름
에 대한 바나흐 공간
위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.
![{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140f831f714de0e7226cf4428320fece25fbb5c3)
![{\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1469ee51f34b59d0bbb14478b8bb90ea17097b8)
이 작용소의 공역을
로 제한할 수 있는 것은 임의의
및
에 대하여
![{\displaystyle |(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq M\delta \leq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a36aa9979a3336b1b41845419d49cd4d3bf5f8c)
이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해
는 자명하게
의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라,
의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
- ㈀
는 연속 함수
- 치역
은
의 상대 콤팩트 집합
아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
- ㈁
는 유계 집합
- ㈂
는 균등 동등 연속 함수족
㈀:
라고 가정하자.
는
에서 균등 연속 함수이므로,
![{\displaystyle \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e05d81e156d97192831644e017d16184c869b26)
이다. 또한
![{\displaystyle |(T\phi _{n}-T\phi )(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb5eec1d15a363688c07fec4d187606b8ea8674)
이므로,
![{\displaystyle \Vert T\phi _{n}-T\phi \Vert _{\infty }\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e886fd003134f255196b23d374923d9a36a374f1)
이다.
㈁: 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle |(T\phi )(t)|\leq |y_{0}|+\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |y_{0}|+M\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6ef0dcc127749abe0e7139a05c93c391bd5533)
㈂: 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle |(T\phi )(t)-(T\phi )(t')|\leq \left|\int _{t'}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\right|\leq M|t-t'|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1430f166e94318924c7d5893402987c93208864c)